O cel mai mic multiplu comun, notat cu MMC, a două sau mai multe numere întregi pozitive este cel mai mic număr diferit de zero care apare în lista de multipli dintre aceste două sau mai multe numere în același timp.
Există o metodă care facilitează calculul celui mai mic multiplu comun al unui număr și, pentru a-l utiliza, este necesar să ne amintim descompunerea factorului prim, cunoscută formal sub numele de Teorema fundamentală a aritmeticii. O astfel de teoremă ne asigură că fiecare număr compus poate fi scris ca produs al factorilor primi.
Citește și: Cunoașteți proprietățile multiplicării?
multiplu comun
Când avem două sau mai multe numere întregi pozitive, este posibil să listăm multiplii acestor numere. Când vom efectua această listare, vom observa că există mai multe multiple în comun, adică multiplii care apar în același timp în toate listele acestor numere date. Vezi exemplul.
Exemplu - Listarea primilor 10 multipli ai numerelor 2, 8, 10.
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
M (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...}
Putem vedea mai multe multiple multiple între numere. Rețineți că, între M (2) și M (8), avem în comun numerele 8, 16, 24...; între M (2) și M (10), avem numerele 10, 20, 30,...; între M (8) și M (10), avem numerele 40, 80,... Aceste numere sunt numite multipli comuni.
Cum se determină MMC?
Pentru a determina MMC, trebuie să listăm inițial câțiva multipli ai numerelor în cauză. Primul multiplu care apare în listarea celor două sau mai multe numere în cauză se numește cel mai mic multiplu comun. Se numește minim, deoarece este cel mai mic dintre ele și se va potrivi întotdeauna cu primul număr comun celor două sau mai multe numere.
Exemplu - Pentru a determina cel mai mic multiplu comun între numerele 4 și 8, să enumerăm multiplii celor două numere.
M (4) = {4, 8, 12,16, 20, ...} și M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...}
Acum, observați că cel mai mic multiplu care apare în ambele listări este numărul 8. Prin urmare, MMC (8.4) = 8
realizează asta această metodă nu este practicăcând numerele sunt prea mari. Imaginați-vă, de exemplu, determinând MMC între numerele 2 și 121 folosind această metodă. Ar trebui să enumerăm multiplii de 2 până ajungem aproape de 121.
Având în vedere acest lucru, putem folosi descompunerea factorului prim, adică trebuie să realizăm diviziuni succesive prin numere prime. Vezi următorul exemplu.
Pentru a calcula MMC (121,2), vom descompune inițial numărul în factori primi și apoi vom înmulți acei factori. Rezultatul înmulțirii va fi MMC.
Astfel, MMC (121,2) = 2 · 11 · 11 = 242.
Exemplu - Determinați MMC (8.4) folosind descompunerea factorului prim.
Prin urmare, MMC (8.4) = 2 · 2 · 2 = 8, așa cum se arată în prima metodă.
Proprietăți MMC
Consultați proprietățile MMC de mai jos.
Proprietatea 1
Produsul celui mai mare divizor comun cu cel mai mic multiplu comun de două numere și B este egal cu modulul produsului acestor numere.
MDC (a, b) · MMC (a, b) = | a · b |
Exemplu - Știm că MDC (8.4) = 4 și MMC (8.4) = 8. De fapt,
MDC (8,4) · MMC (8,4) = | 8 · 4 |.
Proprietatea 2
Multiplii comuni a două sau mai multe numere sunt multiplii MMC ai acestor numere.
Exemplu - Am văzut că M (4) = {4, 8, 12,16, 20, ...} și M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...} și că MMC (8,4) = 8. Proprietatea ne spune că multiplii de 8 și 4 sunt multipli de 8, care, întâmplător, în acest caz, este cel mai mic multiplu comun.
Proprietatea 3
MMC între două numere prime reciproce este egal cu înmulțirea dintre ele.
NOTĂ: Două numere sunt prime între ele atunci când nu au divizor comun.
Exemplu - Găsiți cel mai mic multiplu comun între 5 și 21.
Deoarece numerele nu au un divizor comun, adică sunt veri unul altuia, cel mai mic multiplu dintre ele este produsul dintre ele, deci MMC (21,5) = 21 · 5 = 105. De fapt, acest lucru este adevărat, după cum putem vedea din descompunerea factorului prim.
MMC (21,5) = 3 · 5 · 7 = 105
Citește și tu: Cel mai mare divizor comun: pentru ce este și la ce servește?
MMC și fracțiuni
O cel mai mic multiplu comun este, de asemenea, utilizat pentru a efectua operațiile de adunarea și scăderea fracțiilor. Pentru adăuga sau scădea două sau mai multe fracțiuni, calculați inițial MMC între numitori, apoi împărțiți acel MMC la numitor și înmulțiți rezultatul cu numeratorul. Vezi exemplele.
Exemplu - Determinați suma fracției următoare 4 + 5.
7 3
Inițial, să determinăm MMC (7,3). Pentru aceasta, putem folosi proprietatea 3, astfel, MMC (7.3) = 21.
Prin urmare, 4 + 5 = 56 :7 = 8.
7 3 21:7 3
Aceeași procedură este valabilă atunci când avem o scădere a fracțiilor, doar fii atent doar la semnul dintre fracțiuni.
Citește și: Operații cu fracții: învățați cum să o faceți
Exercițiu rezolvat
Întrebarea 1 - (UPE) Rodrigo urmărea clipele de pe ornamentul de Crăciun al casei sale. Se compune din becuri în galben, albastru, verde și roșu. Rodrigo a observat că becurile galbene se aprind la fiecare 45 de secunde, becurile verzi la fiecare 60 de secunde, albastru, la fiecare 27 de secunde, iar cele roșii se aprind numai atunci când lămpile celorlalte culori sunt aprinse la fel timp. Câte minute se aprind lămpile roșii?
) 6
B) 9
ç) 12
d) 15
și) 18
Soluţie
Deoarece lămpile se aprind numai atunci când toate sunt aprinse Acelasi timp, adică trebuie să găsim timpul comun de activare a lămpilor. Deci, calculați MMC între 60, 45 și 27.
Prin urmare, MMC (60, 45, 27) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 540 secunde. Deoarece exercițiul este interesat de intervalul de timp în minute, împărțiți doar 540 la 60.
540: 60 = 9 minute.
Alternativa b.
