Exerciții de număr complex: Listă de întrebări rezolvate și feedback

Tu numere complexe face posibilă rezolvarea problemelor matematice care nu au soluții în setul de numere reale.

Într-un număr complex scris ca $\ dpi {120} z = a + bi$ , spunem asta $\ dpi {120} până la$ este partea reală, $\ dpi {120} b$ este partea imaginară și $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ este unitatea imaginară.

A efectua operații cu numere complexe, există câteva expresii care facilitează calculele. Considera $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ și $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Expresie de adunare între numere complexe:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Exprimarea scăderii între numere complexe:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Expresia multiplicării între numere complexe:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Expresia diviziunii între numere complexe:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Mai jos este o listă de întrebări rezolvate cu exerciții pe numere complexe. Învață să folosești fiecare dintre conceptele care implică aceste numere!

Index

Lista exercițiilor pe numere complexe
Rezolvarea întrebării 1
Rezolvarea întrebării 2
Rezolvarea întrebării 3
Rezolvarea întrebării 4
Rezolvarea întrebării 5
Rezolvarea întrebării 6
Rezolvarea întrebării 7
Rezolvarea întrebării 8

Lista exercițiilor pe numere complexe

Intrebarea 1. Având în vedere numerele complexe $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ și $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ determina valoarea $\ dpi {120} A$ , Cand $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Intrebarea 2. Găsiți valorile $\ dpi {120} x$ și $\ dpi {120} y$ astfel încât $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

instagram story viewer

Întrebarea 3. Având în vedere numerele complexe $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ și $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , determina valoarea lui $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Cand $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ și $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Întrebarea 4. Calculați valoarea $\ dpi {120} p$ și $\ dpi {120} q$ Pentru ce $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Cand $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ și $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Întrebarea 5. Determinați valoarea $\ dpi {120} până la$ Pentru ce $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ fie un număr imaginar pur.

Întrebarea 6. Calculați următoarele puteri unitare imaginare $\ dpi {120} i$ :

) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Întrebarea 7. Găsiți soluția ecuației $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ în mulțimea numerelor complexe.

Întrebarea 8. Determinați soluția ecuației $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ în mulțimea numerelor complexe.

Rezolvarea întrebării 1

Avem $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ și $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ și $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ și vrem să determinăm valoarea $\ dpi {120} A$ , Cand $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

În primul rând, să calculăm $\ dpi {120} 4z_3$ și $\ dpi {120} 3z_1$ , separat:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Acum să calculăm $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Rezolvarea întrebării 2

Vrem să găsim x și y astfel încât $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Prin expresia sumei dintre două numere complexe, trebuie să:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Deci trebuie să avem $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ și $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Să rezolvăm aceste două ecuații pentru a găsi x și y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Rezolvarea întrebării 3

Avem $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ și $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ și vrem să determinăm valoarea $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Cand $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ și $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

În primul rând, calculăm $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Prin expresia multiplicării între două numere complexe, trebuie să:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Acum să calculăm $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Prin urmare, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Rezolvarea întrebării 4

Vrem să calculăm valoarea lui $\ dpi {120} p$ și $\ dpi {120} q$ Pentru ce $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Cand $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ și $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Înseamnă găsire $\ dpi {120} p$ și $\ dpi {120} q$ astfel încât:

Consultați câteva cursuri gratuite

Curs online gratuit de educație incluzivă
Ludoteca online gratuită și curs de învățare
Curs gratuit de jocuri online de matematică în educația timpurie
Curs online gratuit de ateliere culturale pedagogice

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Prin expresia împărțirii între două numere complexe, trebuie să:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Alăturându-ne celor două condiții, trebuie să avem:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Adică:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Să rezolvăm fiecare dintre aceste ecuații, începând cu a doua care depinde doar de p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Acum, găsim q prin cealaltă ecuație:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Rezolvarea întrebării 5

Vrem să găsim valoarea $\ dpi {120} până la$ Pentru ce $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ fie un număr imaginar pur.

Un număr imaginar pur este unul a cărui parte reală este egală cu zero.

Având în vedere expresia diviziunii între două numere complexe, avem că:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Pentru ca acest număr să fie pur imaginar, trebuie să avem:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

Rezolvarea întrebării 6

Definind puteri și numere complexe trebuie să:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Observați un model care se repetă la fiecare patru puteri succesive: 1, i, -1 și -i.

Astfel, pentru a găsi rezultatul la orice putere a lui i, împărțiți exponentul la 4. Restul diviziunii va fi 0, 1, 2 sau 3 și această valoare va fi exponentul pe care ar trebui să îl folosim.

) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4, iar restul este 0.

Atunci, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .