Unghiul dintre doi vectori

În matematică sau fizică, vectori sunt segmente drepte cu direcție, direcție și lungime, care sunt folosite pentru a reprezenta cantități precum forța, viteza și accelerația.

Vectorii indică traiectorii și pot fi definiți utilizând un sistem de coordonate (x, y). Considerând punctul (0,0) ca origine a segmentului, figura de mai jos prezintă un vector $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ al cărui final este punctul $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

Notaţie: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

cele rânduite $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ se numește componenta orizontală și abscisa $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ , de componentă verticală.

Acum luați în considerare, pe lângă vector $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , un alt vector $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ și un unghi format între ele, așa cum se arată în figura de mai jos.

Acest unghi dintre vectori poate fi calculat printr-o formulă care implică produsul punct între vectori și norma (lungimea) fiecărui vector.

Unghiul dintre doi vectori

Două zaruri vectoriale $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ și $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ , cosinusul unghiului $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ printre acestea este legat de produsul intern dintre vectori și standardele lor după cum urmează:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

Numărătorul fracției este produsul interior dintre vectori, dat de:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

Și numitorul este produsul dintre standardele fiecăruia dintre vectori, după cum urmează:

instagram story viewer

Consultați câteva cursuri gratuite

Curs online gratuit de educație incluzivă
Ludoteca online gratuită și curs de învățare
Curs gratuit de jocuri online de matematică în educația timpurie
Curs online gratuit de ateliere culturale pedagogice

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

Prin efectuarea înlocuirii, am verificat că formula unghiului dintre doi vectori é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

Exemplu:

Calculați unghiul dintre vectori $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ și $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

Aplicând valorile din formulă, trebuie să:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ left (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ right)}$

Folosind un calculator sau un tabel trigonometric, putem vedea asta:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32.47 ^ {\ circ}}$

Ați putea fi, de asemenea, interesat:

Arcuri cu mai multe rotații
Arcuri și mișcare circulară
cerc trigonometric
viteza unui vehicul

Parola a fost trimisă la adresa dvs. de e-mail.

Unghiul dintre doi vectori

Unghiul dintre doi vectori

Harta Santa Catarina

Exerciții asupra Imperiului Roman

Planul de clasă Conservarea pădurilor braziliene