Funcțiile trigonometrice ale semicercului

La funcții trigonometrice, sinusul, cosinusul și tangenta, a jumătății arcului pot fi obținute din funcțiile trigonometrice ale arcului dublu.

Dat fiind un arc de măsură $\ dpi {120} \ alfa$ , arcul dublu este arcul $\ dpi {120} 2 \ alfa$ iar jumătatea arcului este arcul $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

De două formule de adăugare a arcului, avem funcțiile trigonometrice ale arcului dublu:

Sinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alfa}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

cosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alfa}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangentă:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

Din aceste formule, vom arăta formulele pentru funcții trigonometrice pe jumătate de arc.

Funcțiile trigonometrice ale semicercului

Una dintre relații fundamentale de trigonometrie este asta:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Unde ajungem:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

înlocuind $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ în formula cosinusului arcului dublu, trebuie să:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Consultați câteva cursuri gratuite

Curs online gratuit de educație incluzivă
Ludoteca online gratuită și curs de învățare
Curs gratuit de jocuri online de matematică în educația timpurie
Curs online gratuit de ateliere culturale pedagogice

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Prin urmare: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

înlocuind $\ dpi {120} \ alfa$ pe $\ dpi {120} \ alpha / 2$ în formula de mai sus și extragând rădăcina pătrată pe ambele părți, avem formula pentru cosinusul arcului jumătate:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Notă: Semnul din formulă va fi pozitiv sau negativ în funcție de cadranul jumătății arcului.

instagram story viewer

Acum înlocuiește $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ în formula cosinusului arcului dublu, trebuie să:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Prin urmare:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

înlocuind $\ dpi {120} \ alfa$ pe $\ dpi {120} \ alpha / 2$ în formula de mai sus și extragând rădăcina pătrată pe ambele părți, avem formula pentru sinus de arc jumătate:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Notă: Semnul din formulă va fi pozitiv sau negativ în funcție de cadranul jumătății arcului.

În cele din urmă, putem obține tangenta jumătății arcului, împărțind sinusul jumătății arcului la cosinusul jumătății arcului:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \alfa}}}$

Prin urmare, formula lui jumătate arc tangent é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Notă: Semnul din formulă va fi pozitiv sau negativ în funcție de cadranul jumătății arcului.

Ați putea fi, de asemenea, interesat:

cerc trigonometric
tabel trigonometric
Rapoarte trigonometrice
legea păcatelor
legea cosinusului

Parola a fost trimisă la adresa dvs. de e-mail.

Funcțiile trigonometrice ale semicercului

Funcțiile trigonometrice ale semicercului

Exerciții de număr factorial

Plan de lecție de matematică pe scădere

Cauzele independenței braziliene