THE Ecuația de gradul 2 este caracterizată pentru un polinom de gradul 2, adică un polinom de tip ax2+ bx + c, unde , B și ç sunt numere reale. Când rezolvăm o ecuație de gradul 2, suntem interesați să găsim valori pentru necunoscut. X care face ca valoarea expresiei să fie egală cu 0, care se numesc rădăcini, adică ax2 + bx + c = 0.
Citește și tu: Diferențe între funcție și ecuație
Tipuri de ecuații de gradul II
Ecuația de gradul 2 poate fi reprezentat de ax² + bx + c = 0, unde coeficienții , B și ç sunt numere reale, cu ≠ 0.
→ Exemple
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 și c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 și c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 și c = -1
Ecuația de gradul 2 este clasificată ca complet când toți coeficienții sunt diferiți de 0, adică ≠ 0, B ≠ 0 și ç ≠ 0.
Ecuația de gradul 2 este clasificată ca incomplet când valoarea coeficienților B sau ç sunt egale cu 0, adică b = 0 sau c = 0.
→ Exemple
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 și c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 și c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 și c = 0
Atenție: valoarea coeficientului nu este niciodată egal cu 0, dacă se întâmplă acest lucru, ecuația nu mai este de gradul 2.
Cum se rezolvă ecuațiile de gradul 2?
Soluția unei ecuații de gradul 2 apare atunci când rădăcini sunt găsite, adică valorile atribuite X. Aceste valori ale X trebuie să facă egalitatea adevărată, adică prin substituirea valorii X în expresie, rezultatul trebuie să fie egal cu 0.
→ Exemplu
Având în vedere ecuația x2 - 1 = 0 avem că x ’= 1 și x’ ’= - 1 sunt soluții ale ecuației, deoarece substituind aceste valori în expresie, avem o adevărată egalitate. Uite:
X2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 și (–1)2 – 1 = 0
Pentru a găsi soluția unui ecuaţie, este necesar să analizăm dacă ecuația este completă și incompletă și să selectăm ce metodă va fi utilizată.
Metoda soluției pentru ecuații de tip ax²+ c = 0
Metoda de determinare a soluției ecuațiilor incomplete care au B=0constă în izolarea necunoscutului X, prin urmare:
→ Exemplu
Găsiți rădăcinile ecuației 3x2 – 27 = 0.
Dacă doriți să aflați mai multe despre această metodă, accesați: Ecuația incompletă de gradul II cu coeficient nul b.
Metoda soluției pentru ecuații de tip topor2 + bx = 0
Metoda de determinare a soluțiilor posibile ale unei ecuații cu ç = 0, constă în utilizarea factoringul probelor. Uite:
topor2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Când ne uităm la ultima egalitate, se observă că există o multiplicare și că pentru ca rezultatul să fie 0, este necesar ca cel puțin unul dintre factori să fie egal cu 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 sau ax + b = 0
Astfel, soluția la ecuație este dată de:
→ Exemplu
Determinați soluția ecuației 5x2 - 45x = 0
Dacă doriți să aflați mai multe despre această metodă, accesați: ecuație incompletă de gradul II cu coeficient nul c.
Metoda soluției pentru ecuații complete
Metoda cunoscută sub numele de Metoda Bhaskara sau Formula Bhaskara subliniază că rădăcinile unei ecuații de gradul 2 de tip ax2 + bx + c = 0 este dat de următoarea relație:
→ Exemplu
Determinați soluția ecuației X2 - x - 12 = 0.
Rețineți că coeficienții din ecuație sunt: a = 1; B= - 1 și ç = – 12. Înlocuind aceste valori în formula lui Bhaskara, avem:
Delta (Δ) poartă numele discriminator și observați că se află în interiorul unui rădăcină pătrată și, după cum știm, luând în considerare numerele reale, nu este posibil să se extragă rădăcina pătrată a unui număr negativ.
Cunoscând valoarea discriminantului, putem face câteva afirmații despre soluția ecuației de gradul 2:
→ discriminant pozitiv (Δ> 0): două soluții la ecuație;
→ discriminant egal cu zero (Δ = 0): soluțiile ecuației se repetă;
→ discriminant negativ (Δ <0): nu admite o soluție reală.
Sisteme de ecuație de gradul II
Când luăm în considerare simultan două sau mai multe ecuații, avem o sistem de ecuații. Soluția unui sistem cu 2 variabile este set de perechi ordonate care satisface simultan toate ecuațiile implicate.
→ Exemplu
Luați în considerare sistemul:
Cu valorile: x ’= 2, x’ ’= - 2 și y’ = 2, y ’’ = - 2 putem asambla perechi ordonate care satisfac ecuațiile sistemului simultan. Vezi: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Amintiți-vă că o pereche ordonată este scrisă de forma (x, y).
Metodele pentru găsirea soluției unui sistem de ecuații sunt similare cu cele ale sisteme liniare.
→ Exemplu
Luați în considerare sistemul:
Din ecuația x - y = 0, să izolăm necunoscutul X, prin urmare:
x - y = 0
x = y
Acum trebuie să înlocuim valoarea izolată în cealaltă ecuație, astfel:
X2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Folosind metoda lui Bhaskara, trebuie să:
Din moment ce x = y, vom avea x ’= y’ și x ’’ = y ’’. Adică:
x ’= 4
x ’’ = -3
Astfel, perechile ordonate sunt soluții ale sistemului (4, 4) și (- 3, - 3).
Citeste mai mult: Sistem de ecuații de gradul 1 și 2
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - (ESPM -SP) Soluțiile la ecuația de mai jos sunt două numere
a) veri.
b) pozitiv.
c) negativ.
d) perechi.
e) ciudat.
Soluţie
Știm că numitorii unei fracții nu pot fi egali cu zero, deci x ≠ 1 și x ≠ 3. Și având în vedere că avem o fracțiune egală, ne putem multiplica încrucișat, obținând:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
X2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
X2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Împărțind ambele părți ale ecuației cu 2, avem:
X2 - 4x - 5 = 0
Folosind formula lui Bhaskara rezultă că:
Rețineți că rădăcinile ecuației sunt numere impare.
Alternativă e.
intrebarea 2 - (UFPI) Un fermier de păsări a constatat că, după plasarea (n +2) păsări în fiecare dintre cele n pepiniere disponibile, ar mai rămâne o singură pasăre. Numărul total de păsări, pentru orice valoare naturală de n, este întotdeauna
a) un număr par.
b) un număr impar.
c) un pătrat perfect.
d) un număr divizibil cu 3.
e) un număr prim.
Soluţie
Numărul de păsări poate fi găsit prin înmulțirea numărului de voliere cu numărul de păsări plasate în fiecare. dintre aceștia, prin declarația exercițiului după efectuarea acestui proces, rămâne încă o pasăre, putem scrie toate acestea în cele ce urmează manieră:
n · (n + 2) +1
Realizând distributivitatea vom obține:
Nu2 + 2n +1
Și luând în considerare acest polinom rezultă că:
(n + 1)2
Astfel, numărul total de păsări este întotdeauna un pătrat perfect pentru orice număr natural n.
Alternativa C
de Robson Luiz
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm