THE Elipsă este o figură plană clasificată ca conic, pentru că ea pot fi obținute din secțiune a unui plan într-un con. Găsirea unei figuri plate cu o formă de elipsă este destul de frecventă în viața de zi cu zi. A fost studiat pe scară largă pentru a explica mișcarea planetelor în jurul Soarelui, deoarece orbitele acestor stele sunt elipse.
THE geometrie analitică este aria matematicii care caută să descrie forme geometrice algebrice, inclusiv, elipsa este studiată în profunzime în geometrie analitică, fiind posibil să-l descrie printr-o ecuație care ia în considerare elementele sale. Principalele elemente ale elipsei sunt:
axa majoră
axa minoră
distanța focală
focare F1 și F2
Definim elipsa ca fiind setul de puncte în care suma distanței acestor puncte la focalizarea F1 și să se concentreze pe F2 este întotdeauna constantă.
Citește și: Care sunt diferențele dintre figurile plate și spațiale?
Ce este o elipsă?
Știm ca o elipsă figură plană formată din secțiunea dintre plan și con, în felul următor:
Pentru a construi elipsa, este trebuie să vă cunosc două focalizări, F1 și F2, precum și lungimea axei majore, care este linia care leagă capetele elipsei, în imaginea de mai jos, reprezentată de A1 THE2.
Lungimea axei majore este egală cu 2a, deci elipsa este curba formată din toate punctele PNu unde suma distanței de la punctul la primul focar (dPNuF1) cu distanța de la punct la al doilea focal (dPNuF2) este întotdeauna constantă și egală cu 2a.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA1THE2 = Al doilea
Nu te opri acum... Există mai multe după publicitate;)
Elipse Elements
Pentru a înțelege pe deplin formarea elipsei, este necesar să se cunoască fiecare dintre elementele sale. Acestea sunt focarele, centrul, axa majoră și axa minoră. Pe baza acestora, este posibil să se urmărească relații importante în elipsă.
Centrul elipsei este reprezentat de punctul O.
Deja punctele F1 și F2 reprezintă focarele elipsei.
punctele A1 si2 sunt capetele axei orizontale a elipsei și punctele B1 și B2 sunt capete ale axei sale verticale.
Distanța dintre B1 și B2 este egal cu 2b (lungimea elipsei pe axa minoră).
Distanța dintre A1 si2 este egal cu 2a (lungimea elipsei pe axa majoră).
Distanța focală dintre F1 și F2 este egal cu 2c.
Observare: Este important să ne dăm seama că urmărirea F.1B1 are o lungime egală cu jumătate din axa orizontală, adică dF1B1 = a. Astfel, este de asemenea posibil să percepem o relație pitagorică importantă atunci când analizăm triunghiul A1OB1. Rețineți că este un triunghi dreptunghic. Prin urmare, putem aplica teorema lui Pitagora.
a² = b² + c²
Există o altă posibilitate pentru elipsă, care este atunci când cea mai lungă axă este axa verticală. În acest caz, elementele rămân aceleași.
În acest caz, putem aplica și teorema lui Pitagora, obținând următoarele:
b² = a² + c²
Citește și: Care sunt elementele unui poligon?
Ecuația elipsei
Studiul elipsei analitic se face în Avion cartezian. Geometria analitică urmărește să descrie, prin ecuații, figurile geometrie plană. Astfel, este posibil să descriem figura prin așa-numita ecuație de elipsă.
În primul rând, vom face exemple de elipsă ale căror focare sunt conținute fie pe axa x, fie pe axa y, adică originea elipsei coincide cu originea planului cartezian.
În acest caz, există două posibilități, atunci când axa majoră este axa verticală și când axa majoră este axa orizontală:
Observare: Focurile sunt întotdeauna conținute în cea mai lungă axă, deci dacă a> b, focarele sunt conținute în axa orizontală, iar dacă b> a, acestea sunt conținute în axa verticală.
Centrul elipsei nu este întotdeauna la originea planului cartezian, ceea ce nu împiedică dezvoltarea și adaptarea ecuației elipsei pentru acest caz. Când elipsa este decalată de la originea O (x0, y0), ecuația sa poate fi descrisă prin:
Citește și: Care este ecuația redusă a circumferinței?
Excentricitatea elipsei
Cunoaștem ca excentricitatemotiv între lungimea c și jumătatea lungimii celei mai lungi axe a elipsei. Presupunând că cea mai lungă axă este orizontală, excentricitatea este calculată prin:
Dacă elipsa se află pe axa verticală, excentricitatea va fi calculată prin:
THE excentricitatea ne spune cât de plat este elipsa, cu cât valoarea excentricității este mai mare, cu atât elipsa va fi mai aproape de un cerc. Deoarece axa majoră are întotdeauna o lungime mai mare decât distanța focală, deci, în consecință, c Deoarece elipsa are o formă rotunjită, pentru a-i calcula aria, folosim constanta π și de asemenea, măsura de jumătate din lungimea orizontală și jumătate din lungimea verticală, Noi trebuie sa: A = abπ A: lungimea elipsei Exemplu: Calculați aria unei elipse, cu focarele pe axa orizontală, a cărei axa cea mai lungă măsoară 50 cm, iar cea mai mică, 36 cm. Deoarece axa majoră este orizontală, atunci focarele sunt conținute în ea. Prin urmare, trebuie să: 2 = 50 a = 50/2 a = 25 Și pe axa verticală, trebuie să: 2b = 36 b = 36/2 b = 18 Deci aria elipsei este dată de: A = abπ A = 25 · 18π A = 450π cm² Intrebarea 1 - Când se analizează elipsa de mai jos, alternativa care conține distanța sa focală este: A) 5 Rezoluţie Alternativa E. Distanța focală este egală cu 2c și, în plus, a = 8 și b = 6. Deoarece focarele sunt conținute pe axa x, atunci trebuie să: Deoarece distanța focală este egală cu 2c, atunci 2c = 8√3. Intrebarea 2 - (IFB) Având în vedere o elipsă cu centrul la origine, focarele pe una dintre axele coordonate și trecând prin punctele (5, 0) și (0, 13), determinați focarele elipsei. a) (13, 0) și (-13, 0) Rezoluţie Alternativa D Rețineți că trece prin punctul (0, 13), care indică faptul că b = 13 și, de asemenea, că trece prin punctul (5.0) a = 5. Ca b> a, trebuie să: b² = a² + c² Deoarece b este mai mare, atunci focalizarea este pe axa verticală, adică (0, 12) și (0, -12). De Raul Rodrigues de Oliveirazona elipsei
a: jumătate din lungimea axei orizontale
b: jumătate din lungimea axei verticale
exerciții rezolvate
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
b) (0, 13) și (0, -13)
c) (12, 0) și (-12, 0)
d) (0, 12) și (0, -12)
e) (5, 0) și (-5, 0)
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 - 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
Profesor de matematică
