THE legea cosinusului este relație trigonometrică folosit pentru a raporta părți și unghiuri pe unu triunghi oricare, adică acel triunghi care nu are neapărat un unghi drept. Rețineți următorul triunghi ABC cu măsurile evidențiate:
THE legeDincosinusuri poate fi dat de una dintre următoarele expresii:
2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
B2 =2 + c2 - 2 · a · c · cosβ
ç2 = b2 +2 - 2 · b · a · cosθ
Observare: Nu este necesar să memoreze aceste trei formule. Știi doar că legeDincosinusuri poate fi întotdeauna construit. Rețineți, în prima expresie, că α este unghiul opus laturii a cărei măsură este dată de . Începem formula cu pătratul de pe partea opusă unghiului care va fi folosit în calcule. Va fi egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, minus de două ori produsul celor două laturi care nu sunt opuse acestui unghi de cosinus de α.
În acest fel, cele trei formule de mai sus pot fi reduse la:
2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
Atâta vreme cât știm că „„ este măsurarea pe partea opusă a lui "α" și că "b" și "c" sunt măsurătorile celorlalte două fețe ale triunghi.
Demonstrație
Având în vedere triunghi Orice ABC, cu măsurile evidențiate în următoarea figură:
Luați în considerare triunghiurile ABD și BCD formate din înălțimea BD a triunghiului ABC. Folosind teorema lui Pitagora în ABD, vom avea:
ç2 = x2 + h2
H2 = c2 - X2
Folosind aceeași teoremă pentru triunghi BCD, vom avea:
2 = y2 + h2
H2 =2 - da2
Știind că există2 = c2 - X2, noi vom avea:
ç2 - X2 =2 - da2
ç2 - X2 + y2 =2
2 = c2 - X2 + y2
Notă în imaginea triunghi unde b = x + y, unde y = b - x. Înlocuind această valoare în rezultatul obținut anterior, vom avea:
2 = c2 - X2 + y2
2 = c2 - X2 + (b - x)2
2 = c2 - X2 + b2 - 2bx + x2
2 = c2 + b2 - 2bx
Privind încă figura, observați că:
cosα = X
ç
c · cosα = x
x = c · cosα
Înlocuind acest rezultat în expresia anterioară, vom avea:
2 = c2 + b2 - 2bx
2 = c2 + b2 - 2b · c · cosα
Aceasta este exact prima dintre cele trei expresii prezentate mai sus. Celelalte două pot fi obținute în mod analog cu acesta.
Exemplu - La triunghi apoi calculați măsura lui x.
Soluţie:
Folosind legeDincosinusuri, rețineți că x este măsurarea laturii opuse unghiului de 60 °. Prin urmare, primul „număr” care apare în soluție ar trebui să fie:
X2 = 102 + 102 - 2 · 10 · 10 · cos60 °
X2 = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °
X2 = 200 - 200 · cos60 °
X2 = 200 – 200·1
2
X2 = 200 – 100
X2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Deoarece nu există lungimi negative, rezultatul ar trebui să fie doar valoarea pozitivă, adică x = 10 cm.
de Luiz Moreira
Absolvent în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm
