O Triunghiul lui Pascal este un instrument matematic destul de vechi. De-a lungul istoriei, a primit mai multe nume, dar cele mai adoptate astăzi sunt triunghi aritmetic și triunghiul lui Pascal. Al doilea nume este un omagiu adus matematicianului care a adus mai multe contribuții la studiul acestui triunghi. înseamnă că triunghiul a fost inventat de el, dar el a fost cel care a făcut un studiu mai profund al acestui lucru instrument.
Din proprietățile triunghiului lui Pascal, este posibil să-l construim logic. De asemenea, iese în evidență relație cu combinații studiat în analiza combinatorie. Termenii triunghiului lui Pascal corespund, de asemenea, coeficienților binomiali și, prin urmare, este foarte util pentru calcularea oricărui binom Newton.
Citește și: Dispozitiv Briot-Ruffini - metodă de divizare a polinoamelor
Construcția triunghiului lui Pascal
Triunghiul lui Pascal este produs din rezultatul combinațiilorCu toate acestea, există o metodă practică care facilitează modul de construire a acestuia. Primul rând și prima coloană sunt numărate ca rândul zero și coloana zero.
Putem folosi câte linii este nevoie în această construcție, prin urmare triunghiul poate avea linii infinite. Raționamentul pentru elaborarea liniilor este întotdeauna același. Uite:
Noi stim aia termenii triunghiului sunt combinații, a studiat în analiza combinatorie. Pentru înlocuirea triunghiului lui Pascal cu valori numerice, știm că combinațiile unui număr cu zero și un număr cu el însuși sunt întotdeauna egale cu 1. Prin urmare, prima și ultima valoare sunt întotdeauna 1.
Pentru a le găsi pe celelalte, începem cu linia 2, deoarece linia 0 și linia 1 sunt deja complete. În linia 2, pentru a găsi combinația de la 2 la 1, în linia de mai sus, adică în linia 1, să adăugăm termenul de deasupra acestuia în aceeași coloană și termenul de deasupra în coloana anterioară, așa cum se arată în imagine :
După construirea liniei 2, este posibil să se construiască linia 3 efectuând aceeași procedură.
Continuând această procedură, vom găsi toți termenii - în acest caz, până la linia 5 - dar este posibil să construim cât de multe linii este necesar.
Proprietățile triunghiului lui Pascal
Sunt cateva proprietățile triunghiului lui Pascal, datorită regularității în construcția sa. Aceste proprietăți sunt utile pentru lucrul cu combinații, construcția liniilor triunghiulare în sine și suma liniilor, coloanelor și diagonalelor.
Prima proprietate
Prima proprietate a fost cea pe care am folosit-o pentru a construi triunghiul. Deci la găsiți un termen în triunghiul lui Pascal, trebuie doar să adăugați termenul din rândul de deasupra acestuia și aceeași coloană cu termenul din coloana și rândul dinaintea acestuia. Această proprietate poate fi reprezentată după cum urmează:
Această proprietate este cunoscută sub numele de Relația lui Stifel și este important să facilitați construcția triunghiului și să găsiți valorile fiecărei linii.
Nu te opri acum... Există mai multe după publicitate;)
A 2-a proprietate
Suma tuturor termenilor la rând este calculată prin:
sNu=2Nu, pe ce Nu este numărul liniei.
Exemple:
Cu această proprietate, este posibil să știți suma tuturor termenilor de pe o linie fără a trebui neapărat să construim triunghiul lui Pascal. Suma liniei 10, de exemplu, poate fi calculată cu 210 = 1024. Deși nu toți termenii sunt cunoscuți, este deja posibil să se cunoască valoarea sumă a întregii linii.
A treia proprietate
Suma termenilor care se succed de la începutul unei coloane date P până la o anumită linie Nu este același cu termenul de pe linie n +1 spate și coloană p +1 mai târziu, după cum se arată mai jos:
A 4-a proprietate
Suma unei diagonale care începe în coloana 0 și merge la termenul din coloana p și rândul n este egală cu termenul din aceeași coloană (p), dar în rândul de mai jos (n + 1), așa cum se arată în imagine :
A 5-a proprietate
Există simetrie în liniile triunghiului lui Pascal. Primul și al doilea termen sunt egale, al doilea și penultimul termen sunt egale și așa mai departe.
Exemplu:
Linia 6: 1615 20 156 1.
Rețineți că termenii sunt egali doi la doi, cu excepția termenului central.
Vezi și: Diviziunea polinomială: cum să o rezolvăm?
Binomul lui Newton
Definim binomul lui Newton a puterea unuia polinom care are doi termeni. Calculul unui binom este legat de triunghiul Pascal, care devine un mecanism pentru calcularea a ceea ce numim coeficienți binomiali. Pentru a calcula un binom, folosim următoarea formulă:
Rețineți că valoarea exponentului scade până când în ultimul termen este egal cu 0. Știm că fiecare număr crescut la 0 este egal cu 1, deci termenul nu apare în ultimul termen. De asemenea, rețineți că exponentul B începe cu B0, curând B nu apare în primul termen și crește până la atingere BNu, în ultimul termen.
Mai mult, numărul care însoțește fiecare dintre termeni este ceea ce numim coeficient - în acest caz cunoscut sub numele de coeficient binomial. Pentru a înțelege mai bine cum să rezolvi acest tip de binom, accesează textul nostru: Binomul lui Newton.
coeficient binomial
Coeficientul binomial nu este altceva decât combinația, care poate fi calculată folosind formula:
Cu toate acestea, pentru a facilita calculul binomului lui Newton, este esențial să folosim triunghiul Pascal, deoarece ne oferă rezultatul combinației mai rapid.
Exemplu:
Pentru a găsi rezultatul coeficientului binomial, să găsim valorile rândului 5 al triunghiului lui Pascal, care sunt {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ 1y5
Pur și simplu pune:
(x + y)5= x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ y5
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Valoarea expresiei de mai jos este?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Rezoluţie
Alternativa A.
Regrupând valorile pozitive și negative, trebuie să:
Rețineți că de fapt calculăm scăderea dintre linia 4 și linia 3 a triunghiului lui Pascal. După proprietate, știm că:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Intrebarea 2 - Care este valoarea expresiei de mai jos?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Rezoluţie
Alternativa B.
Rețineți că adăugăm termenii din coloana 1 a triunghiului lui Pascal la rândul 7, apoi la al treilea proprietate, valoarea acestei sume este egală cu termenul care ocupă rândul 7 + 1 și coloana 1 + 1, adică rândul 8, coloana 2. De vreme ce dorim doar o valoare, construirea întregului triunghi Pascal nu este convenabilă.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
