THE zonă pe unu solidgeometric se poate obține prin suma ariilor fiecăreia dintre figurile geometrice care o compun. Un tetraedru, de exemplu, este un piramidă de bază triunghiulară. Această piramidă este formată din patru triunghiuri: o bază și trei fețe laterale. Adunând ariile fiecăruia dintre aceste triunghiuri împreună, avem aria tetraedrului.
Tetraedru regulat în dreapta și planul său în stânga
Mai jos sunt formulele folosite pentru a calcula aria unor solide geometrice și exemple de utilizare a acestora.
zona pietruită
Luați în considerare un pavaj a cărei lungime măsoară "x", lățimea măsoară "y" și înălțimea măsoară "z", ca în figura următoare:
Formula utilizată pentru calcularea zonă é:
A = 2xy + 2yz + 2xz
Aceeași formulă se aplică și pentru zona cubului, care este un caz special al pavaj. Cu toate acestea, deoarece toate marginile cubului sunt la fel, acesta formulă Poate fi redus. Astfel, aria unui cub de margine L este determinată de:
A = 6L2
Exemplul 1
care este aria unui blocdreptunghiular cu lungimea și lățimea egală cu 10 cm și înălțimea egală cu 5 cm?
Ca lungime = lățime = 10 cm, vom avea x = 10 și y = 10. Ca înălțime = 5 cm, vom avea z = 5. Folosind formula pentru zona paralelipipedică, vom avea:
A = 2xy + 2yz + 2xz
A = 2 · 10 · 10 + 2 · 10 · 5 + 2 · 10 · 5
A = 200 + 100 + 100
H = 400 cm2
Exemplul 2
Care este aria unui cub a cărui margine măsoară 10 cm?
A = 6L2
A = 6 · 102
A = 6 · 100
H = 600 cm2
Zona cilindrului
Având în vedere cilindru de raza r și înălțimea h, ilustrată de figura de mai jos, a formulă folosit pentru a calcula zonă é:
A = 2πr (r + h)
Exemplul 3
Determinați zonă a unui cilindru a cărui înălțime măsoară 40 cm și diametrul măsoară 16 cm. Luați în considerare π = 3.
al naibii cerc este egal cu jumătate din diametrul său (16: 2 = 8). Astfel, raza bazei cilindrului este egală cu 8 cm. Doar înlocuiți aceste valori în formula:
A = 2πr (r + h)
A = 2 · 3 · 8 (8 + 40)
A = 2 · 3 · 8 · 48
A = 6 · 384
H = 2304 cm2
zona conului
Formula utilizată pentru a determina zona conului é:
A = πr (r + g)
Figura următoare arată că r este raza conului și g este măsura generatoarei sale.
Exemplul 4
calculează zonă pe unu con al cărui diametru este de 24 cm și a cărui înălțime măsoară 16 cm. Luați în considerare π = 3.
Pentru a descoperi măsuradăgeneratrix a conului, utilizați următoarea expresie:
g2 = r2 + h2
Deoarece raza conului este egală cu jumătate din diametrul său, măsura razei este de 24: 2 = 12 cm. Înlocuind valorile din expresie, vom avea:
g2 = r2 + h2
g2 = 122 + 162
g2 = 144 + 256
g2 = 400
g = √400
g = 20 cm
Înlocuirea razei conului și măsurării generatoarei în formulă în zonă, noi vom avea:
A = πr (r + g)
A = 3 · 12 (12 + 20)
A = 36 · 32
H = 1152 cm2
zona sferei
Formula utilizată pentru a calcula zona sferei de raza r este:
A = 4πr2
Exemplul 5
Calculați aria sferei din următoarea imagine. Luați în considerare π = 3.
Folosind formulădăzonă dă minge, noi vom avea:
A = 4πr2
A = 4 · 3 · 52
A = 12 · 25
H = 300 cm2
Zona piramidei
Tu prisme și piramide nu au formulăspecific pentru calcul zonă, deoarece forma fețelor și bazelor sale laterale este foarte variabilă. Cu toate acestea, este întotdeauna posibil să se calculeze aria unui solid geometric aplatizându-l și adăugând zonele individuale ale fiecăreia dintre fețele sale.
Când aceste solide sunt drepte, la fel ca prismaDrept si piramidăDrept, este posibil să se identifice relaţii între măsuri a fețelor sale laterale.
Vezi și:Calculul ariei unei prisme
Exemplul 6
unu piramidă drept cu baza pătrată are un apotema egal cu 10 cm și o margine de bază egală cu 5 cm. Care este zona ta?
Pentru a rezolva acest exemplu, uitați-vă la imaginea piramidei de mai jos:
O piramidă dreaptă cu o bază pătrată are toate fețele laterale congruente. Deci, calculați aria uneia dintre ele, înmulțiți rezultatul cu 4 și adăugați acest lucru la rezultatul obținut în calculul lui zona bazei piramidei.
Pentru a calcula aria unuia dintre aceste triunghiuri, avem nevoie de măsura înălțimii sale. Această măsură este egală cu apotema piramidei, deci 10 cm. În următoarea formulă, apotema va fi reprezentată de litera h. În plus, toate bazele triunghiurilor sunt congruente, deoarece sunt toate laturile lui a pătrat și măsoară 5 cm.
Zona unei fețe laterale:
A = bh
2
A = 5·10
2
A = 50
2
H = 25 cm2
Zona celor patru fețe laterale:
A = 4 · 25
H = 100 cm2
Suprafața de bază (care este egală cu aria unui pătrat):
A = 12
A = 52
H = 25 cm2
Suprafața totală a acestei piramide:
A = 100 + 25 = 125 cm2
zona prismei
După cum sa menționat, nu există o formulă specifică pentru zona prismei. Trebuie să calculăm aria fiecăreia dintre fețele sale și să le adunăm la final.
Exemplul 7
Ce este zona prismei bază dreaptă pătrat, știind că înălțimea acestui solid este de 10 cm și că marginea bazei sale măsoară 5 cm?
Soluţie:
Mai jos, vedeți o imagine a prismei în cauză pentru a ajuta la construirea soluției:
Exercițiul informează că bazadeprisma este pătrat. Mai mult, cele două baze de prismă sunt congruente, adică găsirea ariei uneia dintre aceste baze, doar înmulțiți această măsurătoare cu 2 pentru a determina aria celor două baze de prismă.
THEB = 12
THEB = 52
THEB = 25 cm2
De asemenea, deoarece are o bază pătrată, este ușor de văzut că are patrufețelaturile, care sunt, de asemenea, congruente, deoarece solidul este drept. Deci, găsind aria uneia dintre fețele laterale, înmulțiți această valoare cu 4 pentru a găsi aria laterală a prismei.
THEfl = b · h
THEfl = 5·10
THEfl = 50 cm2
THEAcolo = 4Afl
THEAcolo = 4·50
THEAcolo = 200 cm2
THE zonătotaldeprisma é:
A = AB + AAcolo
A = 25 + 200
H = 225 cm2
De Luiz Paulo Silva
Licențiat în matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-solidos-geometricos.htm