THE generând fracțiune si reprezentare fracționată a unei zecimi periodice. Această reprezentare este o strategie importantă în rezolvarea problemelor legate de operațiile de bază ale matematicii care implică zecimale periodice. Pentru a o găsi, putem folosi tehnici de ecuație, precum și o metodă practică.
Citește și: Cum se rezolvă operațiile cu fracția?
Ce este o zeciuială periodică?
Înainte de a înțelege ce este o fracție generatoare, este esențial să înțelegeți ce este o zecimală periodică. Există două cazuri posibile de zecimi periodice: zecimalele periodice simple și zecimale periodice compuse. O zeciuială periodică este o număr zecimal care are o parte zecimală infinită și periodică.
zeciuială periodică simplă
Zecimala periodică simplă este compusă dintr-o parte întreagă și o parte zecimală. THE partea zecimală este repetarea perioadei, așa cum se arată în exemplele de mai jos.
Exemple:
a) 1.2222 ...
întreaga parte → 1
partea zecimală → 0,2222…
Curs de timp → 2
b) 3.252525 ...
întreaga parte → 3
partea zecimală → 0,252525…
Curs de timp → 25
c) 0.8888 ...
întreaga parte → 0
partea zecimală → 0,8888
Curs de timp → 8
Nu te opri acum... Există mai multe după publicitate;)
zeciuială periodică compusă
O zecimală periodică compusă este o zecimală care are o parte întreagă, o parte zecimală și, în partea sa zecimală, o parte neperiodică - cunoscută sub numele de antiperiodă - și perioada.
Exemple:
a) 2.0666 ...
întreaga parte → 2
partea zecimală→ 0,0666…
Antiperiodă → 0
Curs de timp → 6
b) 13.518888 ...
întreaga parte → 13
partea zecimală → 0,51888…
Antiperiodă → 51
Curs de timp → 8
c) 0.109090909 ...
întreaga parte → 0
partea zecimală → 0,10909090
Antiperiodă → 1
Curs de timp → 09
Citește și: Ce sunt fracțiile echivalente?
Ce este fracția generativă?
fracția generatoare este reprezentarea fracționată a zecimalei periodice, fie că este simplu, fie că este compus. După cum sugerează și numele, fracția generatoare generează zeciuiala atunci când noi impartim numeratorul prin numitorul reprezentării fracționare.
Exemple:
Pas cu pas pentru a calcula fracția generatoare
Să aruncăm pas cu pas zecimala periodică simplă și zecimala periodică compusă.
zecimi periodice simple
Pentru a găsi fracția generatoare a unei zecimale periodice simple, este necesar să urmați câțiva pași, și anume:
Primul pas: egalează zecimalul periodic cu x.
Al doilea pas: în funcție de numărul de cifre din perioadă, înmulțiți ambele fețe ale ecuației cu:
10 → dacă există 1 cifră în perioadă;
100 → dacă există 2 cifre în perioadă;
1000 → dacă există 3 cifre în perioadă; și așa mai departe.
Pasul 3: calculează diferența dintre ecuaţie găsit în pasul 2 și ecuația egal cu x în pasul 1 și rezolvați ecuația.
Exemplul 1:
Găsiți fracția generatoare a 1.444 zecimale ...
x = 1,4444 ...
Perioada este 4 și deoarece există o singură cifră în perioadă, o vom înmulți cu 10 din ambele părți:
10x = 1,444... · 10
10x = 14,444 ...
10x - x = 14.444.. – 0,444…
9x = 14
x = 14/9
Deci, fracția generatoare a zecimii este:
Exemplul 2:
Găsiți fracția generatoare a zecimalei periodice 3.252525 ...
x = 3,252525 ...
Perioada este 25 și, având 2 cifre, o vom înmulți cu 100.
100x = 3,252525... · 100
100x = 325,252525 ...
Acum calculăm diferență între 100x și x:
100x - x = 325.2525... - 3.252525 ...
99x = 322
x = 322/99
Deci, fracția generatoare a zecimii este:
zeciuială periodică compusă
Când se compune zecimalul periodic, ceea ce se schimbă este acela am adăugat un nou pas în rezoluție pentru a găsi fracția generatoare.
Primul pas: egalează zecimalul periodic cu x.
Al doilea pas: transformați zecimalul periodic compus într-o zecimală periodică simplă înmulțind cu:
10, dacă există 1 cifră în antiperiodă;
100 dacă există 2 cifre în antiperiodă; și așa mai departe.
Pasul 3: în funcție de numărul de cifre din perioadă, înmulțiți ambele fețe ale ecuației cu:
10 → dacă există 1 cifră în perioadă;
100 → dacă există 2 cifre în perioadă;
1000 → dacă există 3 cifre în perioadă; și așa mai departe.
Pasul 4: calculați diferența dintre ecuația găsită în pasul 3 și pasul 2 și rezolvați ecuația.
Exemplu:
Găsiți fracția generatoare a zecimii 5.0323232 ...
x = 5.0323232 ...
Rețineți că există o cifră în antiperiodă, care este 0. Îl vom înmulți cu 10 pentru a face o zecimală periodică.
10x = 5,0323232... · 10
10x = 50.332232 ...
Acum să identificăm perioada, care este 32. Deoarece există 2 cifre, vom înmulți zecimea cu 100.
1000x = 5032.323232 ...
Acum calculăm diferența dintre 1000x și 10x:
1000x - 10x = 5032.323232... - 50.323232 ...
990x = 4982
x = 4982/990
Deci, fracția generatoare este:
Vezi și: Cum se formează un număr mixt?
metodă practică
Folosim metoda practică pentru facilitează procesul de găsire a fracției generatoare a zecimalei periodice. Să analizăm două cazuri diferite: când zecimalul periodic este simplu și când este compus.
Metodă practică pentru zeciuială periodică simplă
Într-o zecimală periodică simplă, metoda practică este:
Primul pas: scrieți suma dintre partea întreagă și partea zecimală a zecimalei periodice;
Al doilea pas: transformați partea zecimală în fracție, după cum urmează: numărătorul va fi întotdeauna punctul și numitorul va fi:
9 → dacă există 1 cifră în perioadă;
99 → dacă există 2 cifre în perioadă;
999 → dacă există 3 cifre în perioadă; și așa mai departe.
Pasul 3: Suma părții întregi cu fracția găsită.
Exemplu:
5,888…
5,888… = 5 + 0,888…
Transformând 0.888... în fracție, avem numărător egal cu 8, deoarece 8 este perioada fracției și numitor egal cu 9, deoarece există doar 1 cifră în perioadă, deci:
Metodă practică pentru zecimile compozite periodice
Exemplu:
Vom găsi fracția generatoare din 4.1252525 zeciuială ...
Mai întâi identificăm întreaga parte, antiperioada și perioada zecimii compozite:
Întreaga parte: 4
Antiperiodă: 1
Perioada: 25
Numărătorul zecimii compuse este diferența dintre numărul format din cifrele întregii părți, antiperiodă și perioadă, și numărul format din întreaga parte și antiperiodă.
4125 – 41 =4084
În numitor, pentru fiecare număr din perioadă, adăugăm un 9 și apoi, pentru fiecare număr din partea non-periodică, a 0.
perioada este 25, așa că adăugăm 99; antiperulítotul este 1, așa că adăugăm 0, apoi numitorul é990.
Fracția generatoare a zecimii este:
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - La efectuarea împărțirii între două numere naturale, s-a găsit zecimalul periodic 1.353535... Fracția generatoare a acestei zecimale este:
Rezoluţie
Alternativa C.
Vom face x = 1.353535 ...
Înmulțind cu 100 pe ambele părți, trebuie să:
100 x = 135,3535 ...
Acum să calculăm diferența dintre 100x și x.
Intrebarea 2 - Dacă x = 0,151515… și y = 0,242424…, diviziunea y: x este egală cu?
Rezoluţie
Alternativa A.
Găsind fracțiile generatoare prin metoda practică, trebuie să:
x = 0,151515 ...
Zecimea are o perioadă egală cu 15, deci numeratorul său este 15, iar numitorul este 99.
Cu același raționament pentru y = 0.242424..., numeratorul este 24, iar numitorul este 99.
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
