Măsuri de dispersie: varianță și deviație standard

În studiul Statistic, avem câteva strategii pentru a verifica dacă valorile prezentate într-un set de date sunt sau nu dispersate și cât de departe pot fi. Instrumentele utilizate pentru a face acest lucru posibil sunt clasificate ca măsuri de dispersie și a sunat varianță și abaterea standard. Să vedem ce reprezintă fiecare dintre ele:

Varianță:

  • Având în vedere un set de date, varianța este o măsură a dispersiei care arată cât de departe este fiecare valoare din acel set de valoarea centrală (medie).

  • Cu cât este mai mică varianța, cu atât valorile sunt mai apropiate de medie; dar cu cât este mai mare, cu atât valorile sunt mai departe de medie.

  • Consider că X1, X2, …, XNuei sunt Nu elemente ale unui probă este asta X și media aritmetică a acestor elemente. Calculul varianța eșantionului Este dat de:

    Var. proba = (X1X) ² + (x2X) ² + (x3X)² +... + (xNuX
    n - 1

  • Dacă, pe de altă parte, dorim să calculăm varianța populației, vom lua în considerare toate elementele populației, nu doar un eșantion. În acest caz, calculul are o mică diferență. Ceas:

    Var. populatie = (X1X) ² + (x2X) ² + (x3X)² +... + (xNuX
    Nu

Deviație standard:

  • Abaterea standard este capabilă să identifice „eroarea” într-un set de date, dacă am dori să înlocuim una dintre valorile colectate cu media aritmetică.

  • Abaterea standard apare lângă media aritmetică, informând cât de „fiabilă” este această valoare. Se prezintă după cum urmează:

    medie aritmetică (X) ± abaterea standard (sd)

  • Calculul abaterii standard se face de la rădăcina pătrată pozitivă a varianței. Prin urmare:

    dp = √var

Să aplicăm acum varianța și calculul deviației standard într-un exemplu:

Într-o singură școală, comisia a decis să analizeze numărul de elevi care au toate notele peste medie la toate disciplinele. Pentru a o analiza mai bine, directorul Ana a decis să asambleze o masă cu cantitatea de note „albastre” într-un eșantion de patru clase pe parcursul unui an. Vezi mai jos tabelul organizat de director:

Înainte de a calcula varianța, este necesar să verificați medie aritmetică(X) numărul de elevi peste medie în fiecare clasă:

Anul 6 X = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

Anul 7 X = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

Al 8-lea an X = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

Anul 9 X = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Pentru a calcula varianța numărului de elevi peste media din fiecare clasă, folosim a probă, de aceea folosim formula lui varianța eșantionului:

Var. proba = (X1X) ² + (x2X) ² + (x3X)² +... + (xNuX
n - 1

Anul 6 → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

Anul 7 → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

Al 8-lea an → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

Anul 9 → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Odată cunoscută varianța fiecărei clase, să calculăm acum abaterea standard:

Anul 6

dp = √var
dp = √4.33
dp ≈ 2,08

Anul 7

dp = √var
dp = √8.00
dp ≈ 2,83

Al 8-lea an

dp = √var
dp = √6.91
dp ≈ 2,63

Anul 9

dp = √var
dp = √13.66
dp ≈ 3,70

Pentru a încheia analiza, directorul poate prezenta următoarele valori care indică numărul mediu de elevi peste media pe clasă chestionată:

Anul 6: 7,50 ± 2,08 elevi peste medie pe trimestru;
Anul 7: 8,00 ± 2,83 studenți peste media pe două luni;
Al 8-lea an: 8,75 ± 2,63 studenți peste media pe două luni;
Anul 9: 8,50 ± 3,70 elevi peste media la două luni;

O altă măsură a dispersiei este coeficient de variație. Uite pe aici cum se calculează!


De Amanda Gonçalves
Absolvent în matematică

Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm

Meșteșug: ce este, tipuri, caracteristici, model

O meșteșug este un gen textual care aparține scriere tehnică care are valoare juridică. Este folo...

read more
Cesiu (Cs): proprietăți, aplicații, accident

Cesiu (Cs): proprietăți, aplicații, accident

O cesiu este un element metalic aparținând grupei 1 a TFrumusetea Perodic. Are un aspect argintiu...

read more
Teoria malthusiană: ce spune, context, critică

Teoria malthusiană: ce spune, context, critică

Teoria malthusiană sau Malthusianismul este o teorie demografică dezvoltată de economistul englez...

read more