Măsuri de dispersie: varianță și deviație standard

În studiul Statistic, avem câteva strategii pentru a verifica dacă valorile prezentate într-un set de date sunt sau nu dispersate și cât de departe pot fi. Instrumentele utilizate pentru a face acest lucru posibil sunt clasificate ca măsuri de dispersie și a sunat varianță și abaterea standard. Să vedem ce reprezintă fiecare dintre ele:

Varianță:

  • Având în vedere un set de date, varianța este o măsură a dispersiei care arată cât de departe este fiecare valoare din acel set de valoarea centrală (medie).

  • Cu cât este mai mică varianța, cu atât valorile sunt mai apropiate de medie; dar cu cât este mai mare, cu atât valorile sunt mai departe de medie.

  • Consider că X1, X2, …, XNuei sunt Nu elemente ale unui probă este asta X și media aritmetică a acestor elemente. Calculul varianța eșantionului Este dat de:

    Var. proba = (X1X) ² + (x2X) ² + (x3X)² +... + (xNuX
    n - 1

  • Dacă, pe de altă parte, dorim să calculăm varianța populației, vom lua în considerare toate elementele populației, nu doar un eșantion. În acest caz, calculul are o mică diferență. Ceas:

    Var. populatie = (X1X) ² + (x2X) ² + (x3X)² +... + (xNuX
    Nu

Deviație standard:

  • Abaterea standard este capabilă să identifice „eroarea” într-un set de date, dacă am dori să înlocuim una dintre valorile colectate cu media aritmetică.

  • Abaterea standard apare lângă media aritmetică, informând cât de „fiabilă” este această valoare. Se prezintă după cum urmează:

    medie aritmetică (X) ± abaterea standard (sd)

  • Calculul abaterii standard se face de la rădăcina pătrată pozitivă a varianței. Prin urmare:

    dp = √var

Să aplicăm acum varianța și calculul deviației standard într-un exemplu:

Într-o singură școală, comisia a decis să analizeze numărul de elevi care au toate notele peste medie la toate disciplinele. Pentru a o analiza mai bine, directorul Ana a decis să asambleze o masă cu cantitatea de note „albastre” într-un eșantion de patru clase pe parcursul unui an. Vezi mai jos tabelul organizat de director:

Înainte de a calcula varianța, este necesar să verificați medie aritmetică(X) numărul de elevi peste medie în fiecare clasă:

Anul 6 X = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

Anul 7 X = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

Al 8-lea an X = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

Anul 9 X = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Pentru a calcula varianța numărului de elevi peste media din fiecare clasă, folosim a probă, de aceea folosim formula lui varianța eșantionului:

Var. proba = (X1X) ² + (x2X) ² + (x3X)² +... + (xNuX
n - 1

Anul 6 → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

Anul 7 → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

Al 8-lea an → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

Anul 9 → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Odată cunoscută varianța fiecărei clase, să calculăm acum abaterea standard:

Anul 6

dp = √var
dp = √4.33
dp ≈ 2,08

Anul 7

dp = √var
dp = √8.00
dp ≈ 2,83

Al 8-lea an

dp = √var
dp = √6.91
dp ≈ 2,63

Anul 9

dp = √var
dp = √13.66
dp ≈ 3,70

Pentru a încheia analiza, directorul poate prezenta următoarele valori care indică numărul mediu de elevi peste media pe clasă chestionată:

Anul 6: 7,50 ± 2,08 elevi peste medie pe trimestru;
Anul 7: 8,00 ± 2,83 studenți peste media pe două luni;
Al 8-lea an: 8,75 ± 2,63 studenți peste media pe două luni;
Anul 9: 8,50 ± 3,70 elevi peste media la două luni;

O altă măsură a dispersiei este coeficient de variație. Uite pe aici cum se calculează!


De Amanda Gonçalves
Absolvent în matematică

Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm

Ce s-ar întâmpla dacă cineva ar alerga la fel de repede ca Flash?

Ce s-ar întâmpla dacă cineva ar alerga la fel de repede ca Flash?

Personaj de benzi desenate creat de Gardner Fox și Harry Lampert, Flash este un supererou care ar...

read more

Pronomi diretti: a che persone del discorso si riferiscono

I pronomi diretti sono parti variabili del discorso and che podeno sostituire oggetti and anche p...

read more
5 lucruri pe care trebuie să le știți despre undele sonore

5 lucruri pe care trebuie să le știți despre undele sonore

În fiecare zi producem sunete diferite și suntem expuși la nenumărate surse de sunet. Chiar dacă ...

read more