Având în vedere un cerc cu centrul O, raza r și două puncte A și B aparținând cercului, avem că distanța dintre punctele marcate este un arc al unui cerc. Lungimea unui arc este proporțională cu măsura unghiului central, cu cât unghiul este mai mare, cu atât este mai mare lungimea arcului; și cu cât unghiul este mai mic, cu atât lungimea arcului este mai mică.
Pentru a determina lungimea unui cerc folosim următoarea expresie matematică: C = 2 * π * r. Turnul complet într-un cerc este reprezentat de 360º. Să facem o comparație între lungimea circumferinței în măsură liniară (ℓ) și măsură unghiulară (α), rețineți:
liniar |
unghiular |
2 * π * r |
360º |
ℓ |
α |
Această expresie poate fi utilizată pentru a determina lungimea arcului unui cerc de rază r și unghiul central α în grade. În aceste cazuri utilizați π = 3,14.
Dacă unghiul central este dat în radiani, vom folosi următoarea expresie: ℓ = α * r.
Exemplul 1
Determinați lungimea unui arc cu un unghi central egal cu 30 ° conținut într-o circumferință de rază de 2 cm.
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
ℓ = 1,05 cm
Lungimea arcului va fi de 1,05 centimetri.
Exemplul 2
Maneta minutelor unui ceas de perete măsoară 10 cm. Cât spațiu va parcurge mâna după 30 de minute?
Vedeți imaginea ceasului:
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
ℓ = 31,4 cm
Spațiul acoperit de aripa minutelor va fi de 31,4 centimetri.
Exemplul 3
Determinați lungimea unui arc cu un unghi central de măsurare π / 3 conținut într-o circumferință de 5 cm pe rază.
ℓ = α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
ℓ = 5,23 cm
Exemplul 4
Un pendul lung de 15 cm se leagănă între A și B la un unghi de 15 °. Care este lungimea traiectoriei descrisă de extremitatea sa între A și B?
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
ℓ = 3,9 cm
Lungimea traseului dintre A și B este de 3,9 centimetri.
de Mark Noah
Absolvent în matematică
Echipa școlii din Brazilia
Trigonometrie - Matematica - Școala din Brazilia
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-um-arco.htm
