O volumul piramidei se calculează înmulțind aria de bază și înălțimea, împărțind la trei. Pentru a calcula volumul piramidei, este necesar să știm care poligon formează baza acestei piramidă, De aceea, pentru fiecare bază, folosim o formulă diferită pentru a găsi ta zonă. Putem relaționa volumul prismei cu volumul unei piramide de aceeași înălțime și zonă ca și baza, deoarece volumul piramidei este egal cu o treime din volumul prismei.
Citește și: Ce sunt formele geometrice?
Cum se calculează volumul piramidei?
Volumul piramidei poate fi calculat printr-o formulă care depinde în mod direct de poligon care formează baza. Pentru a calcula volumul oricărei piramide, folosim următoarea formulă:
V → volum
THEB → zona de la baza piramidei
H → înălțimea piramidei
Baza unei piramide poate fi formată din orice poligon., deci putem avea o piramidă de bază triunghiulară, piramidă de bază pătrată, piramidă de bază hexagonală. Oricum, orice poligon poate fi baza piramidei și, deoarece este un poligon, pentru a calcula aria bazei sale, există o formulă specifică.
Citește și: Care sunt solidele lui Platon?
piramida cu bază pătrată
Într-o piramidă pe bază de pătrat, știm că aria pătrat se calculează prin lungimea laturii pătrate, adică A = Acolo². Deci, pentru a calcula volumul unei piramide pătrate, calculăm produsul pătratului marginii de bază și înălțimea piramidei și împărțim la trei. Vedeți un exemplu mai jos.
Exemplu:
Calculați volumul piramidei de mai jos, știind că baza sa este formată dintr-un pătrat:
În piramidă, înălțimea h măsoară 6 cm, iar marginea bazei sale măsoară 3 cm.
Atunci, vom calcula mai întâi aria bazei AB. Suprafața pătratului este egală cu Acolo², deci trebuie să:
THEB = Acolo²
THEB = 3²
THEB = 9 cm²
Acum că știm valoarea suprafeței de bază, trebuie doar să înlocuiți măsurarea înălțimii și măsurarea suprafeței de bază în formula volumului piramidei:
Piramidă cu bază triunghiulară
Când baza piramidei este triunghiulară, pentru a calcula aria bazei, folosim formula lui aria unui triunghi, care este egal cu produsul bazei și înălțimea împărțită la două.
Exemplu:
Știind că următoarea piramidă are o înălțime de 9 cm, calculați volumul acesteia:
Deoarece baza este o triunghi, vom calcula mai întâi aria bazei, care este lungimea bazei de ori lungimea înălțimii triunghiului care formează baza, împărțind la doi.
Acum, când cunoaștem valoarea zonei de bază, devine posibil să se calculeze volumul acestei piramide:
Exemplul 2:
Când baza piramidei este a triunghi echilateral, putem folosi formula pentru aria triunghiului echilateral pentru a calcula aria bazei.
Vom calcula volumul unei piramide a cărei bază este un triunghi echilateral cu laturile care măsoară 8 cm, iar înălțimea sa măsoară 15 cm.
Mai întâi calculăm aria bazei, deoarece este un triunghi echilateral, vom folosi formula pentru aria unui triunghi echilateral.
Acum să calculăm volumul:
Vezi și: Diferențele dintre figurile plane și spațiale
Piramida bazei hexagonale
În piramida bazei hexagonale, pentru a calcula aria de bază, folosim formula zonei hexagonale.
Exemplu:
Calculați volumul piramidei știind că baza sa este un hexagon regulat:
Mai întâi vom calcula aria hexagonului:
Acum să calculăm volumul:
Relația dintre volumul piramidei și volumul prismei
dat unul prisma și o piramidă cu aceeași bază, știm că volumul prismei este egal cu produsul zonei de bază și înălțimea, iar volumul piramidei este produsul zonei de bază și înălțimea împărțit la trei, deci dacă zona de bază este aceeași, volumul piramidei va fi egal cu 1/3 din volumul prismei.
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - Încercând să inoveze în designul ambalajelor, o industrie cosmetică a decis să producă ambalaje în formă de piramidă cu bază pătrată pentru noua sa cremă hidratantă. Baza acestei piramide are forma unui pătrat de laturi care măsoară 6 cm. Știind că această cremă hidratantă trebuie să conțină 200 ml, înălțimea piramidei trebuie să fie de aproximativ:
A) 15,2 cm
B) 15,8 cm
C) 16,4 cm
D) 16,7 cm
E) 17,2 cm
Rezoluţie
Alternativa D
Știm că 200 ml este egal cu 200 cm³, deci avem V = 200. Deci, calculând aria de bază, care este un pătrat, trebuie să:
THEB = l²
THEB = 6²
THEB = 36 cm²
Acum să facem volumul egal cu 200 cm³, deci trebuie să:
Intrebarea 2 - (Enem) O fabrică produce lumânări de parafină în formă de piramidă patrulateră cu o înălțime de 19 cm și o margine de bază de 6 cm. Aceste lumânări sunt formate din 4 blocuri de aceeași înălțime - 3 trunchiuri de piramidă cu baze paralele și 1 piramidă în partea de sus - distanțate la 1 cm distanță, fiind că baza superioară a fiecărui bloc este egală cu baza inferioară a blocului suprapus, cu o tijă de fier care trece prin centrul fiecărui bloc, unindu-le, așa cum se arată în figură.
Dacă proprietarul fabricii decide să diversifice modelul, eliminând piramida din partea de sus, care este de 1,5 cm margine la bază, dar păstrând aceeași matriță, cât va cheltui pe parafină pentru a fabrica o lumânare?
A) 156 cm³
B) 189 cm³
C) 192 cm³
D) 216 cm³
E) 540 cm³
Rezoluţie
Alternativa B
Să calculăm diferența dintre piramida mai mare (V) și piramida mai mică (V2).
Știm că există 1 cm distanță între blocuri, deci înălțimea celei mai mari piramide este de 19 - 3 = 16 cm. Piramida mai mare este la 6 cm de bază, deoarece baza este pătrată, deci AB = l² = 6² = 36.
Astfel, volumul piramidei mai mari este:
Pentru a găsi înălțimea celei mai mici piramide, să împărțim înălțimea totală la 4, deci 16: 4 = 4 cm. Procedând la fel cu marginea, obținem 6: 4 = 1,5.
Astfel, aria bazei piramidei mai mici este de 1,5² = 2,25. Calculând volumul, trebuie să:
Acum găsim diferența dintre volume:
192 - 3 = 189 cm³
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-piramide.htm