Care sunt punctele maxime și minime?

Tu puncte de maxim este din Minim sunt definite și discutate numai pentru funcții de liceu, deoarece pot exista pe orice curbă.

Înainte, să ne amintim: a ocupaţie de al doileagrad este una care poate fi scrisă sub forma f (x) = ax² + bx + c. O grafic a acestui tip de funcție este parabolă, cine poate avea concavitate cu fața în jos sau în sus. De asemenea, în această figură, există un punct numit vârf, reprezentat de litera V, care este poate fi Scorînmaxim sau ScorînMinim a funcției.

punct maxim

Toate ocupaţie de al doileagrad cu <0 are Scorînmaxim. Cu alte cuvinte, punctul maxim este posibil doar în funcții cu concavitatea cu fața în jos. Așa cum se arată în imaginea următoare, punctul maxim V este cel mai înalt punct al funcțiilor de gradul doi cu un <0.

Rețineți că grafica acestui lucru ocupaţie crește până la atingerea Scorînmaxim, după aceea, graficul devine descendent. Cel mai înalt punct al acestei funcții de exemplu este punctul său maxim. De asemenea, rețineți că nu există nici un punct cu o coordonată y mai mare decât V = (3, 6) și că valoarea x atribuită punctului maxim este la punctul mediu al

segment, ale cărei capete sunt rădăcinile funcției (când sunt numere reale).

De asemenea, amintiți-vă că Scorînmaxim coincide întotdeauna cu vârf a funcției cu concavitatea orientată în jos.

Punct minim

Toate ocupaţie de al doileagrad cu coeficientul a> 0 are ScorînMinim. Cu alte cuvinte, punctul minim este posibil numai în funcțiile cu concavitatea orientată în sus. Rețineți în figura următoare că V este punctul cel mai de jos al parabolei:

Graficul acestui lucru ocupaţie este în scădere până la atingerea ScorînMinim, după aceea, continuă să crească. În plus, punctul minim V este cel mai mic punct al acestei funcții, adică nu există alt punct cu o coordonată y mai mică decât –1. De asemenea, rețineți că valoarea lui x legată de y la punctul minim este, de asemenea, la punctul de mijloc al segmentului, ale cărui puncte finale sunt rădăcinile funcției (atunci când sunt numere reale).

Amintiți-vă, de asemenea, că ScorînMinim coincide întotdeauna cu vârf a funcției cu concavitatea orientată în sus.

Punct maxim sau minim în legea formării funcției

Știind că legea formării ocupaţiedeal doileagrad are forma f (x) = ax² + bx + c, este posibil să se utilizeze relații între coeficienții a, b și c pentru a găsi coordonatele vârf a funcției. Coordonatele vârfului vor fi exact coordonatele punctului său de maxim sau de Minim.

Știind că coordonata x a vârf de o ocupaţie este reprezentat de xv, vom avea:

Nu te opri acum... Există mai multe după publicitate;)

X_v = - B
Al 2-lea

Știind că coordonata y a vârf de o ocupaţie este reprezentat de yv, vom avea:

y_v = – Δ
Al 4-lea

Prin urmare, coordonatele vârfului V vor fi: V = (x_vy_v).

Dacă vârf va fi punctul de maxim sau de Minim, doar analizează concavitatea parabolei:

Dacă a <0, parabola are punctul de vârf.

Dacă un> 0, parabola are punct minim.

Rețineți că atunci când funcția are două rădăcini reale, x_v va fi la punctul de mijloc al segmentului, ale cărui capete sunt rădăcinile ocupaţie. Deci o altă tehnică pentru a găsi x_v și y_v este să găsești rădăcinile funcției, să găsești punctul de mijloc al liniei drepte care le leagă și să aplici acea valoare funcției pentru a găsi y_v legate de.

Exemplu:

Determinați vârf a funcției f (x) = x² + 2x - 3 și spuneți dacă este Scorînmaxim sau de Minim.

Prima soluție: Calculați coordonatele vârf după formulele date, știind că a = 1, b = 2 și c = - 3.

X_v = - B
Al 2-lea

X_v = – 2
2·1

X_v = – 1

y_v = – Δ
Al 4-lea

y_v = – (2² – 4·1·[– 3])
4·1

y_v = – (4 + 12)
4

y_v = – 16
4

y_v = – 4

Deci, V = (- 1, - 4) și funcția are ScorînMinim, deoarece a = 1> 0.

A doua soluție: Găsiți rădăcinile ocupaţie de al doileagrad, determinați punctul de mijloc al segmentului de conectare, care va fi x_v, și aplicați această valoare funcției pentru a găsi y_v.

Rădăcinile funcției, date de metoda de completare a pătratului, sunt:

f (x) = x² + 2x - 3

0 = x² + 2x - 3

4 = x² + 2x - 3 + 4

X² + 2x + 1 = 4

(x + 1)² = 4

Făcând rădăcina pătrată pe ambii membri, vom avea:

√ [(x + 1)²] = √4
x + 1 = ± 2
x = ± 2 - 1

x ’= 2 - 1 = 1

x "= - 2 - 1 = - 3

Un segment care merge de la - 3 la 1 are ca punct de mijloc x_v = – 1. Pentru mai multe detalii, verificați imaginea după soluție. Aplicarea x_v în funcție, vom avea:

f (x) = x² + 2x - 3

y_v = (– 1)² + 2(– 1) – 3

y_v = 1 – 2 – 3

y_v = 1 – 5

y_v = – 4

Aceste rezultate sunt aceleași valori găsite în prima soluție: V = (- 1, - 4). În plus, funcția are ScorînMinim, deoarece a = 1> 0.

Imaginea de mai jos prezintă graficul acesteia ocupaţie cu rădăcinile sale și cu punctul său minim V.

Este demn de remarcat faptul că formula lui Bhaskara poate fi utilizată și pentru a găsi rădăcinile funcției în acest conținut.

De Luiz Paulo Moreira
Absolvent în matematică