Teorema lui D'Alembert

Teorema lui D'Alembert este o consecință imediată a teoremei restului, care se referă la împărțirea polinomului cu binomul de tip x - a. Teorema restului spune că un polinom G (x) împărțit la un binom x - a va avea restul R egal cu P (a), pentru
x = a. Matematicianul francez D'Alembert a demonstrat, ținând cont de teorema citată mai sus, că un polinom orice Q (x) va fi divizibil cu x - a, adică restul diviziunii va fi egal cu zero (R = 0) dacă P (a) = 0.
Această teoremă a făcut mai ușoară calcularea diviziunii polinomului cu binom (x –a), deci nu este necesar să se rezolve întreaga diviziune pentru a ști dacă restul este egal sau diferit de zero.
Exemplul 1
Calculați restul împărțirii (x² + 3x - 10): (x - 3).
După cum spune teorema lui D'Alembert, restul (R) al acestei diviziuni va fi egal cu:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Deci, restul acestei divizii va fi 8.
Exemplul 2
Verificați dacă x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 este divizibil cu x - 1.
Potrivit lui D’Alembert, un polinom este divizibil cu un binom dacă P (a) = 0.

P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P (1) = 3-4
P (1) = - 1
Deoarece P (1) este diferit de zero, polinomul nu va fi divizibil cu binomul x - 1.
Exemplul 3
Calculați valoarea lui m astfel încât restul împărțirii polinomului
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 cu x - 2 este 6.
Avem că, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6 - 38 + 3
- 8m = 9 - 38
- 8m = - 29
m = 29/8
Exemplul 4
Calculați restul împărțirii polinomului 3x³ + x² - 6x + 7 cu 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

de Mark Noah
Absolvent în matematică
Echipa școlii din Brazilia

Polinomiale - Matematica - Școala din Brazilia

Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm