THE progresie aritmetică (AP) este secvență numerică pe care îl folosim pentru a descrie comportamentul anumitor fenomene în matematică. Într-un PA, creșterea sau descompunerea este întotdeauna constantă, adică de la un termen la altul, diferența va fi întotdeauna aceeași și această diferență este cunoscută ca rațiune.
Ca urmare a comportamentul previzibil al unei progresii, îl puteți descrie dintr-o formulă cunoscută sub numele de termen general. Din același motiv, este, de asemenea, posibil să se calculeze suma termenilor unui PA folosind o formulă specifică.
Citește și: Progresie geometrică - cum se calculează?
Ce este un PA?
Înțelegând că un PA este o succesiune de termeni în care diferența dintre un termen și cel anterior este întotdeauna constantă, pentru a descrie această progresie dintr-o formulă, trebuie să găsim termenul inițial sau adică primul termen al unei progresii și rațiunea acestuia, care este această diferență constantă între termeni.
În general, PA este scris după cum urmează:
(The1, A2, The3, A4, The5, A6, The7, A8)
Primul termen este a1 și, de la aceasta, la adăuga motivul r, să găsim termenii succesorali.
1 + r = a2
2 + r = a3
3 + r = a4
...
Deci, pentru a scrie progresia aritmetică, trebuie să știm cine este primul său termen și de ce.
Exemplu:
Să scriem primii șase termeni ai unui AP știind că primul său termen este 4 și raportul său este egal cu 2. cunoscând1 = 4 și r = 2, concluzionăm că această progresie începe de la 4 și crește de la 2 la 2. Prin urmare, îi putem descrie termenii.
1 = 4
2 = 4+ 2 = 6
3 = 6 + 2 = 8
4 = 8 + 2 = 10
5= 10 + 2 = 12
6 = 12 + 2 =14
Această TA este egală cu (4,6,8,10,12,14 ...).
Termenul general al PA
Descrierea PA dintr-o formulă ne face mai ușor să găsim oricare dintre termenii săi. Pentru a găsi orice termen al unui AP, folosim următoarea formulă:
Nu= a1 + r · (n-1) |
N → este poziția termenului;
1→ este primul termen;
r → rațiune.
Exemplu:
Gaseste-l termenul general al AP (1,5,9,13, ...) și al 5-lea, al 10-lea și al 23-lea mandat.
Primul pas: găsiți motivul.
Pentru a găsi raportul, calculați pur și simplu diferența dintre doi termeni consecutivi: 5 - 1 = 4; apoi, în acest caz, r = 4.
Al doilea pas: găsiți termenul general.
De unde știm că1= 1 și r = 4, să substituim formula.
Nu= a1 + r (n - 1)
Nu= 1 + 4 (n - 1)
Nu= 1 + 4n - 4
Nu= 4n - 3 → termenul general al PA
Pasul 3: cunoscând termenul general, să calculăm al 5-lea, al 10-lea și al 23-lea termen.
Al 5-lea termen → n = 5
Nu= 4n - 3
5=4·5 – 3
5=20 – 3
5=17
Al 10-lea termen → n = 10
Nu= 4n - 3
10=4·10 – 3
10=40 – 3
10=37
Al 23-lea termen → n = 23
Nu= 4n - 3
23=4·23 – 3
23=92 – 3
23=89
Tipuri de progresii aritmetice
Există trei posibilități pentru un PA. Poate fi crescător, descrescător sau constant.
Creştere
După cum sugerează și numele, o progresie aritmetică crește atunci când, pe măsură ce termenii cresc, crește și valoarea lor., adică al doilea termen este mai mare decât primul, al treilea este mai mare decât al doilea și așa mai departe.
1
Pentru ca acest lucru să se întâmple, raportul trebuie să fie pozitiv, adică un PA crește dacă r> 0.
Exemple:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
Descendentă
După cum sugerează și numele, o progresie aritmetică este descendentă atunci când, pe măsură ce termenii cresc, valoarea lor scade, adică al doilea termen este mai mic decât primul, al treilea este mai mic decât al doilea și așa mai departe.
1 >2 >3 >4 > …. >Nu
Pentru ca acest lucru să se întâmple, raportul trebuie să fie negativ, adică un PA crește dacă r <0.
Exemple:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Constant
O progresie aritmetică este constantă atunci când, pe măsură ce termenii cresc, valoarea rămâne aceeași., adică primul termen este egal cu al doilea, care este egal cu al treilea și așa mai departe.
1 =2 =3 =4 = …. = aNu
Pentru ca un PA să fie constant, raportul trebuie să fie egal cu zero, adică r = 0.
Exemple:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Vezi și: Produsul din termenii unui PG - care este formula?
Proprietățile unui PA
Prima proprietate
Având în vedere orice termen al unui PA, in medie aritmetic între succesorul și predecesorul său este egal cu acel termen.
Exemplu:
Luați în considerare progresia (-1, 2, 5, 8, 11) și termenul 8. Media între 11 și 5 este egală cu 8, adică suma succesorului cu predecesorul unui număr din PA este întotdeauna egală cu acest număr.
A 2-a proprietate
Suma termenilor echidistanți este întotdeauna egală.
Exemplu:
Suma termenilor unui PA
Să presupunem că dorim să adăugăm cei șase termeni BP arătați mai sus: (16,13,10,7,4,1). Putem adăuga pur și simplu termenii lor - caz în care există puțini termeni, este posibil - dar dacă este un șir mai lung, ar trebui să utilizați proprietatea. Știm că suma termenilor echidistanți este întotdeauna egală, așa cum am văzut în proprietate, deci dacă executăm acest lucru adăugați o dată și înmulțiți cu jumătate suma de termeni, avem suma primilor șase termeni ai TIGAIE.
Rețineți că, în exemplu, vom calcula suma primului și ultimului, care este egal cu 17, înmulțit cu jumătate din suma termenilor, adică de 17 ori 3, care este egal cu 51.
Formula lui suma termenilor unui PA a fost dezvoltat de matematicianul Gauss, care a realizat această simetrie în progresii aritmetice. Formula este scrisă după cum urmează:
sNu → suma a n elemente
1 → primul termen
Nu → ultimul termen
n → numărul de termeni
Exemplu:
Calculați suma numerelor impare de la 1 la 2000.
Rezoluţie:
Știm că această secvență este un PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Efectuarea sumei ar însemna multă muncă, deci formula este destul de convenabilă. De la 1 la 2000, jumătate din numere sunt impare, deci există 1000 de numere impare.
Date:
n → 1000
1 → 1
Nu → 1999
De asemenea, accesați: Suma unui PG finit - cum se face?
Interpolarea mijloacelor aritmetice
Cunoscând doi termeni non-consecutivi ai unei progresii aritmetice, este posibil să găsim toți termenii care se încadrează între aceste două numere, ceea ce știm ca interpolare a mijloacelor aritmetice.
Exemplu:
Să interpolăm 5 mijloace aritmetice între 13 și 55. Asta înseamnă că există 5 numere între 13 și 55 și formează o progresie.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Pentru a găsi aceste numere, este necesar să găsiți motivul. Cunoaștem primul termen (1 = 13) și, de asemenea, al 7-lea termen (7= 55), dar știm că:
Nu =1 + r · (n - 1)
Când n = 7 → aNu= 55. Știm și valoarea unui1=13. Deci, substituindu-l în formulă, trebuie să:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Cunoscând motivul, putem găsi termeni între 13 și 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - (Enem 2012) - Cartea de joc este o activitate care stimulează raționamentul. Un joc tradițional este Solitaire, care folosește 52 de cărți. Inițial, cu cărțile se formează șapte coloane. Prima coloană are o carte, a doua are două cărți, a treia are trei cărți, a patra are patru cărți și așa mai departe succesiv până la a șaptea coloană, care are șapte cărți, și ceea ce alcătuiește grămada, care sunt cărțile neutilizate din coloane.
Numărul de cărți care alcătuiesc teancul este:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Rezoluţie
Alternativa B.
Mai întâi să calculăm numărul total de cărți care au fost folosite. Lucrăm cu un AP al cărui prim termen este 1 și raportul este și 1. Deci, calculând suma celor 7 rânduri, ultimul termen este 7, iar valoarea lui n este, de asemenea, 7.
Știind că numărul total de cărți utilizate a fost de 28 și că există 52 de cărți, teancul este format din:
52 - 28 = 24 de cărți
Intrebarea 2 - (Enem 2018) Primăria unui orășel din interior decide să pună stâlpi pentru iluminat în jurul de-a lungul unui drum drept care începe de la o piață centrală și se termină la o fermă din zonă. rural. Deoarece pătratul are deja iluminat, primul stâlp va fi plasat la 80 de metri de pătrat, al doilea la 100 de metri, al treilea la 120 de metri și așa mai departe. succesiv, păstrând întotdeauna o distanță de 20 de metri între stâlpi, până când ultimul stâlp este plasat la o distanță de 1.380 de metri de pătrat.
Dacă orașul poate plăti maximum R $ 8,000,00 pentru fiecare postare, cea mai mare sumă pe care o puteți cheltui pentru plasarea acestor postări este:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520.000,00 BRL.
C) R 528.000,00 USD.
D) 552.000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Rezoluţie
Alternativa C.
Știm că postările vor fi plasate la fiecare 20 de metri, adică r = 20 și că primul termen al acestui PA este 80. De asemenea, știm că ultimul termen este 1380, dar nu știm câți termeni există între 80 și 1380. Pentru a calcula acest număr de termeni, să folosim formula termenului general.
Date: aNu = 1380;1=80; și r = 20.
Nu= a1 + r · (n-1)
Vor fi plasate 660 de postări. Dacă fiecare va costa maximum R $ 8.000, cea mai mare sumă care poate fi cheltuită cu plasarea acestor posturi este:
66· 8 000 = 528 000
De Raul Rodrigues de Oliveira
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm