Matricea triunghiulară: tipuri, determinant, exerciții

O matrice este triunghiulară când elementele de deasupra diagonalei principale sau elementele de sub diagonala principală sunt toate nule. Există două posibile clasificări pentru acest tip de matrice: prima este atunci când elementele de deasupra diagonalei principale sunt nule, ceea ce stabilește o matrice triunghiulară inferioară; a doua este atunci când elementele de sub diagonala principală sunt nule, configurând o matrice triunghiulară superioară.

Pentru a calcula determinantul unei matrice triunghiulare după regula lui Sarrus, trebuie doar să efectuați multiplicarea diagonală principală, deoarece celelalte multiplicări vor fi egale cu zero.

Citește și: Array - ce este și tipurile existente

Matricea triunghiulară este un caz particular al matricei.

Tipuri de matrice triunghiulare

Pentru a înțelege ce este o matrice triunghiulară, este important să ne amintim care este diagonala principală a unei matrice pătrate, care este matricea care are același număr de rânduri și coloane. Diagonala principală a matricei este termenii a.

_ij, unde i = j, adică sunt termenii în care numărul rândului este egal cu numărul coloanei.

Exemplu:

Termenii de pe diagonala principală sunt evidențiați în roșu.

Înțelegând ce este o matrice pătrată și care este diagonala sa principală, să știm ce este o matrice triunghiulară și clasificările sale. Există două clasificări posibile pentru matricea triunghiulară: matricea triunghiulară inferioară și matricea triunghiulară superioară.

• Matricea triunghiulară inferioară: apare atunci când toți termenii de deasupra diagonalei principale sunt egali cu zero și termenii de sub diagonala principală sunt numere reale.

Exemplu numeric:

• Matricea triunghiulară superioară: apare atunci când toți termenii sub diagonala principală sunt egali cu zero și termenii de deasupra diagonalei principale sunt numere reale.

Exemplu numeric:

matrice diagonală

Matricea diagonală este a caz particular al matricei triunghiulare. În el, singurii termeni care sunt diferiți de zero sunt cei care sunt conținuți în diagonala principală. Termenii deasupra sau sub diagonala principală sunt toți egali cu zero.

Exemple numerice de matrice diagonală:

Determinant al unei matrice triunghiulare

Dat fiind o matrice triunghiulară, atunci când se calculează determinantul acestei matrice prin Regula lui Sarrus, puteți vedea că toate multiplicările sunt egale cu zero, cu excepția multiplicării termenului diagonalei principale.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ +₁₂ · A₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ ·₂₃ ·0 +₁₁ · A₂₃ · 0 +₁₂ · 0· A₃₃)

Rețineți că, în toți termenii, cu excepția primului, zero este unul dintre factori și toți multiplicare cu zero este egal cu zero, deci:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Rețineți că acesta este produsul dintre termenii diagonalei principale.

Indiferent de numărul de rânduri și coloane pe care le are o matrice triunghiulară, determinantul va fi întotdeauna egal cu produsul termenilor diagonalei principale.

Vezi și: Determinant - caracteristică aplicată matricilor pătrate

Proprietăți ale matricei triunghiulare

Matricea triunghiulară are unele proprietăți specifice.

• Prima proprietate: determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul termenilor diagonalei principale.
• A doua proprietate: produsul dintre două matrice triunghiulare este o matrice triunghiulară.
• A treia proprietate: dacă unul dintre termenii diagonalei principale a matricei triunghiulare este egal cu zero, atunci determinantul său va fi egal cu zero și, în consecință, nu va fi inversabil.
• A 4-a proprietate: matricea inversă a unei matrice triunghiulare este, de asemenea, o matrice triunghiulară.
• A 5-a proprietate: suma a două matrice triunghiulare superioare este o matrice triunghiulară superioară; în mod similar, suma a două matrice triunghiulare inferioare este o matrice triunghiulară inferioară.

exerciții rezolvate

1) Având în vedere matricea A, valoarea determinantului lui A este:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Rezoluţie

Alternativă d.

Această matrice este triunghiulară inferioară, deci determinantul său este multiplicarea termenilor pe diagonala principală.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Judecați următoarele declarații.

I → Fiecare matrice pătrată este triunghiulară.

II → Suma unei matrice triunghiulare superioare cu o matrice triunghiulară inferioară este întotdeauna o matrice triunghiulară.

III → Fiecare matrice de identitate diagonală este o matrice triunghiulară.

Ordinea corectă este:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Rezoluţie

Alternativă d.

I → Fals, deoarece fiecare matrice triunghiulară este pătrată, dar nu fiecare matrice pătrată este triunghiulară.

II → Fals, deoarece suma dintre o matrice triunghiulară superioară și inferioară nu are ca rezultat întotdeauna o matrice triunghiulară.

III → Adevărat, deoarece termenii diferiți de diagonală sunt egali cu zero.

De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică

Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm