Rezolvarea ecuațiilor este o activitate de zi cu zi. Intuitiv rezolvăm ecuații în viața noastră de zi cu zi și nici nu ne dăm seama. Punând următoarea întrebare: „La ce oră ar trebui să mă ridic pentru a merge la școală, ca să nu o fac a intarzia?" și primim răspunsul, de fapt tocmai am rezolvat o ecuație în care necunoscutul este timp. Aceste întrebări de zi cu zi au instigat întotdeauna matematicieni din toate timpurile în căutarea soluțiilor și metodelor de rezolvare a ecuațiilor.
Formula lui Baskara este una dintre cele mai faimoase metode de rezolvare a unei ecuații. Este o „rețetă”, un model matematic care oferă, aproape instantaneu, rădăcinile unei ecuații de gradul 2. Interesant este că nu există atâtea formule pentru rezolvarea ecuațiilor pe cât ai crede. Ecuațiile de gradul III și IV sunt foarte complicate de rezolvat și există formule de rezolvare pentru cele mai simple cazuri ale acestor tipuri de ecuații.
Este interesant de știut că gradul ecuației determină câte rădăcini are. Știm că o ecuație de gradul 2 are două rădăcini. Prin urmare, o ecuație de gradul 3 va avea trei rădăcini și așa mai departe. Acum să vedem ce se întâmplă cu unele ecuații.
Exemplu. Rezolvați ecuațiile:
a) x2 + 3x - 4 = 0
Soluție: Aplicând formula lui Baskara pentru rezolvarea unei ecuații de gradul 2, obținem:
Știm că a = 1, b = 3 și c = - 4. Prin urmare,
Din moment ce rezolvăm o ecuație de gradul 2, avem două rădăcini.
b) x3 – 8 = 0
Soluție: În acest caz, avem o ecuație incompletă de gradul III cu rezoluție simplă. 
Soluție: În acest caz, avem o ecuație incompletă de gradul 4, numită și ecuație bi-pătrat. Soluția la acest tip de ecuație este, de asemenea, simplă. Uite:
ecuația x4 + 3x2 - 4 = 0 poate fi rescris după cum urmează:
(X2)2 + 3x2 – 4 =0
făcând x2 = t și substituind în ecuația de mai sus obținem:
t2 + 3t - 4 = 0 → care este o ecuație de gradul 2.
Putem rezolva această ecuație folosind formula lui Baskara.
Aceste valori nu sunt rădăcinile ecuației, deoarece necunoscutul este x și nu t. Dar trebuie să:
X2 = t
Atunci,
X2 = 1 sau x2 = – 4
din x2 = 1, obținem că x = 1 sau x = - 1.
din x2 = - 4, obținem că nu există numere reale care să satisfacă ecuația.
Prin urmare, S = {- 1, 1}
Rețineți că, în alternativă am avut o ecuație de gradul 2 și am găsit două rădăcini. În alternativă B rezolvăm o ecuație de gradul 3 și găsim o singură rădăcină. Și ecuația articolului ç, a fost o ecuație de gradul 4 și am găsit doar două rădăcini.
După cum sa menționat anterior, gradul ecuației determină câte rădăcini are:
Gradul 2 → două rădăcini
Gradul 3 → trei rădăcini
Gradul 4 → patru rădăcini
Dar ce s-a întâmplat cu ecuațiile alternative B și ç?
Se pare că o ecuație de grad n ≥ 2 poate avea rădăcini reale și rădăcini complexe. În cazul ecuației de gradul trei al itemului b găsim o singură rădăcină reală, celelalte două rădăcini sunt numere complexe. Același lucru este valabil și pentru ecuația din itemul c: găsim două rădăcini reale, celelalte două sunt complexe.
Despre rădăcinile complexe, avem următoarea teoremă.
Dacă numărul complex a + bi, b ≠ 0, este rădăcina ecuației a0XNu +1Xn-1+... +n-1x + aNu = 0, de coeficienți reali, deci conjugatul său, a - bi, este și rădăcina ecuației.
Consecințele teoremei sunt:
• Ecuația de gradul 2 cu coeficienți reali → are doar rădăcini reale sau două rădăcini complexe conjugate.
• Ecuația de gradul 3 cu coeficienți reali → are doar rădăcini reale sau o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate.
• Ecuația gradului 4 cu coeficienți reali → are doar rădăcini reale sau două rădăcini conjugate complexe și două rădăcini conjugate reale sau numai patru, două câte două.
• Ecuația de gradul 5 cu coeficienți reali → are doar rădăcini reale sau două rădăcini complexe conjugată și cealaltă reală sau cel puțin o rădăcină reală și cealaltă rădăcini complexe, două câte două conjugat.
Același lucru este valabil și pentru ecuațiile de grade mai mari de 5.
De Marcelo Rigonatto
Specialist în statistici și modelare matematică
Echipa școlii din Brazilia
Numere complexe - Matematica - Școala din Brazilia
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm