Intern product tussen twee vectoren

O puntproduct tussen twee vectoren is een reëel getal dat de grootte van deze vectoren relateert, dat wil zeggen hun lengte en de hoek ertussen. Om het te berekenen, is het daarom noodzakelijk om hun lengtes en de hoek die ze vormen te kennen.

Met het vlak als basis geeft een vector een locatie, een intensiteit, een richting en een richting aan. Daarom wordt het gebruikt in de studies van Mechanica (Natuurkunde) als een vertegenwoordiger van een kracht die op een object wordt uitgeoefend.

De gebruikelijke weergave van de vector is een pijl die eindigt op een punt. De coördinaten van dit punt zijn de coördinaten van de vector vanaf punt O (0,0). We schrijven v = (a, b) om het weer te geven. De vector v = (1,2) wordt dus als volgt getekend:

Vectorvoorbeeld beginnend bij de oorsprong

Om de lengte van deze vector te berekenen, moet u rekening houden met de rechthoekige driehoek die erdoor wordt gevormd en de projectie ervan op de x-as (of y-as), zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

Lengte van vector v

De lengte van een vector v heet v vectornorm of vectormodule v en wordt vertegenwoordigd door |v|. Merk op dat de norm van de vector v = (a, b) precies de maat is van de hypotenusa van de driehoek die in de bovenstaande figuur wordt weergegeven. Om deze maat te berekenen, gebruiken we de stelling van Pythagoras:

|v|² = de² + b²

|v| = √(a² + b² )

Product met twee vectorpunten

Gegeven twee vectoren u en v, wordt het inproduct daartussen weergegeven door en wordt gedefinieerd als:

= |u||v|·cosθ

Dit is een soort vermenigvuldiging tussen twee vectoren, maar het wordt geen product genoemd omdat het geen gewone vermenigvuldiging is, omdat het de hoek betreft die door deze twee vectoren wordt gevormd.

Hoek tussen twee vectoren

Het eerste resultaat dat voortvloeit uit de bovenstaande definitie is de hoek tussen twee vectoren. Met de reële getallen “puntproduct”, “u vectornorm” en “v vectornorm” is het mogelijk om de hoek tussen vectoren u en v te berekenen. Om dit te doen, voert u gewoon de berekeningen uit:

= |u||v|·cosθ

= cosθ
|u||v|

Daarom, als we het inproduct delen door de normen van de vectoren u en v, vinden we het reële getal dat verwijst naar de cosinus tussen deze twee vectoren en dus de hoek ertussen.

Merk op dat als de hoek tussen twee vectoren recht is, cosθ gelijk is aan nul. Daarom zal het bovenstaande product het volgende resultaat hebben:

= 0

Hieruit kan worden geconcludeerd dat, gegeven twee vectoren u en v, ze orthogonaal zullen zijn als = 0.

Inproduct berekend uit vectorcoördinaten

Gezien de twee vectoren u = (a, b) en v = (c, d), wordt het puntproduct tussen u en v gegeven door:

= = a·c + b·d

Interne producteigenschappen

Gezien de vectoren u, v en w en het reële getal α, let op:

ik) =

Dit betekent dat het inproduct van vectoren "commutatief" is.

ii) = +

Deze eigenschap is vergelijkbaar met de distributiviteit van vermenigvuldigen over optellen.

iii) = = α

Het berekenen van het inproduct tussen u en v vermenigvuldigd met het reële getal α is hetzelfde als het berekenen van het inproduct tussen αv en u of tussen v en αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Het inproduct van v met v is alleen nul als v de nulvector is.

v) ≥ 0 voor alle v.

Het inproduct van v met v is altijd groter dan of gelijk aan nul.

Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm