een vergelijking is een wiskundige zin die een gelijkheid en ten minste één onbekende heeft, dat wil zeggen, wanneer we de betrokkenheid hebben van a algebraïsche uitdrukking en een gelijkheid. De studie van vergelijkingen vereist voorkennis, zoals de studie van numerieke uitdrukkingen. Het doel van een vergelijking is vind de onbekende waarde dat maakt van gelijkheid een identiteit, dat wil zeggen een echte gelijkheid.
Lees ook:Bewerkingen met breuken - hoe te berekenen?
Basisconcepten voor vergelijkingsstudie
Een vergelijking is een wiskundige zin met a onbekend, tenminste, en een and gelijkheid, en we kunnen het rangschikken op basis van het aantal onbekenden. Zie enkele voorbeelden:
a) 5t – 9 = 16
De vergelijking heeft een onbekende, weergegeven door de letter t.
b) 5x + 6y = 1
De vergelijking heeft twee onbekenden, weergegeven door de letters X en j.
c) t4 – 8z = x
De vergelijking heeft drie onbekenden, weergegeven door de letters OK,z en X.
Wat de vergelijking ook is, we moeten rekening houden met uw
universum ingesteld,samengesteld uit alle mogelijke waarden die we aan het onbekende kunnen toekennen, deze set wordt weergegeven door de letter U.voorbeeld 1
Beschouw de vergelijking x + 1 = 0 en de mogelijke oplossing x = –1. Bedenk nu dat de universum-verzameling van de vergelijking de. is natuurlijk.
Merk op dat de veronderstelde oplossing niet tot de universumset behoort, aangezien de elementen alle mogelijke waarden zijn die het onbekende kan aannemen, dus x = –1 is niet de oplossing van de vergelijking.
Natuurlijk, hoe groter het aantal onbekenden, hoe moeilijker het is om uw oplossing te bepalen. DE oplossing of bron van een vergelijking is de verzameling van alle waarden die, wanneer ze worden toegewezen aan het onbekende, de gelijkheid waar maken.
Voorbeeld 2
Beschouw de vergelijking met een onbekende 5x – 9 = 16, controleer of x = 5 de oplossing of wortel van de vergelijking is.
Zodat het mogelijk is om dat te zeggen x = 5 de oplossing van de vergelijking is, moeten we die waarde in de uitdrukking vervangen, als we een echte gelijkheid vinden, zal het getal de geteste oplossing zijn.
5X – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Zie dat de gevonden gelijkheid waar is, dus we hebben een identiteit en het getal 5 is de oplossing. We kunnen dus zeggen dat de oplossingsverzameling wordt gegeven door:
S = {5}
Voorbeeld 3
Overweeg vergelijking t2 = 4 en controleer of t = 2 of t = –2 oplossingen van de vergelijking zijn.
Analoog moeten we de waarde van t in de vergelijking vervangen, maar houd er rekening mee dat we twee waarden hebben voor het onbekende en daarom moeten we de verificatie in twee stappen uitvoeren.
Stap 1 – Voor t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Stap 2 – Voor t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Zie voor t = 2 en t = – 2 vinden we een identiteit, dus deze twee waarden zijn oplossingen van de vergelijking. We kunnen dus zeggen dat de oplossingsverzameling is:
S = {2, –2}
Vergelijkingstypen
We kunnen ook een vergelijking classificeren met betrekking tot de positie die de onbekenden innemen. Bekijk de belangrijkste soorten:
Polynoomvergelijkingen
Bij veeltermvergelijkingen worden gekenmerkt door een polynoom gelijk aan nul. Zie enkele voorbeelden:
De) 6t3+ 5t2–5t = 0
De nummers6, 5 en –5 zijn de coëfficiënten van de vergelijking.
B) 9X – 9= 0
De nummers 9 en – 9 zijn de coëfficiënten van de vergelijking.
c) ja2– ja – 1 = 0
De nummers 1, – 1 en – 1 zijn de coëfficiënten van de vergelijking.
Vergelijkingsgraden
Polynoomvergelijkingen kunnen worden ingedeeld op basis van hun graad. Net als de veeltermen, de graad van een polynoomvergelijking wordt gegeven door hoogste vermogen met een coëfficiënt die niet nul is.
Uit de vorige voorbeelden a, b en c hebben we dat de graden van de vergelijkingen zijn:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Polynoomvergelijking van derdegraads
b) 9X – 9 = 0 → Polynoomvergelijking van eerste graad
ç) ja2 – y – 1 = 0 → Polynoomvergelijking van middelbare school
Lees ook: kwadratische vergelijkingu: hoe te berekenen, typen, voorbeelden
rationale vergelijkingen
Rationele vergelijkingen worden gekenmerkt door hun onbekenden in de noemer van a fractie. Zie enkele voorbeelden:
Lees ook: Wat zijn rationale getallen?
irrationele vergelijkingen
Bij irrationele vergelijkingen worden gekenmerkt door het hebben van hun onbekenden binnen een n-de wortel, dat wil zeggen, binnen een radicaal met index n. Zie enkele voorbeelden:
exponentiële vergelijkingen
Bij exponentiële vergelijkingen heb de onbekenden in de exponent van een potentie. Zie enkele voorbeelden:
logaritmische vergelijking
Bij logaritmische vergelijkingen worden gekenmerkt door het hebben van een of meer onbekenden in een deel van de logaritme. We zullen zien dat, bij het toepassen van de definitie van de logaritme, de vergelijking in sommige van de voorgaande gevallen valt. Zie enkele voorbeelden:
Zie ook: Eerstegraadsvergelijking met een onbekende
Hoe een vergelijking op te lossen?
Om een vergelijking op te lossen, moeten we de bestuderen methoden die in elk type worden gebruikt, dat wil zeggen, voor elk type vergelijking is er een andere methode om de mogelijke wortels te bepalen. Al deze methoden zijn echter: afgeleid van het equivalentiebeginsel, hiermee is het mogelijk om de belangrijkste soorten vergelijkingen op te lossen.
Gelijkwaardigheidsbeginsel
Tweede gelijkwaardigheidsbeginsel: we kunnen vrij opereren aan de ene kant van een gelijkheid zolang we hetzelfde doen aan de andere kant van de gelijkheid. Om het begrip te verbeteren, zullen we deze kanten benoemen.
Daarom stelt het equivalentieprincipe dat het mogelijk is opereren op de eerste ledemaat vrij zolang de dezelfde bewerking wordt uitgevoerd op het tweede lid.
Overweeg de volgende gelijkheid om het equivalentiebeginsel te verifiëren:
5 = 5
Laten we nu gaan toevoegen aan beide kanten het getal 7, en merk op dat de gelijkheid nog steeds waar zal zijn:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Laten we nu gaan aftrekken 10 aan beide zijden van de gelijkheid, merk nogmaals op dat de gelijkheid nog steeds waar zal zijn:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
kijk dat we het kunnen vermenigvuldigen of delen en verhoog naar a potentie of zelfs extraheren bron,zolang het op het eerste en tweede lid wordt gedaan, zal de gelijkheid altijd gelden.
Om een vergelijking op te lossen, moeten we dit principe gebruiken samen met de kennis van de genoemde bewerkingen. Om de ontwikkeling van de vergelijkingen te vergemakkelijken, laten we de bewerking op het eerste lid achterwege, het is hetzelfde als zeggen dat we het nummer doorgeven aan het andere lid en het teken inwisselen voor het tegenovergestelde.
Het idee om de oplossing van een vergelijking te bepalen is altijd isoleer het onbekende met behulp van het equivalentieprincipe, Kijken:
Voorbeeld 4
Bepaal met behulp van het equivalentieprincipe de oplossingsverzameling van de vergelijking 2x – 4 = 8, wetende dat de universumverzameling wordt gegeven door: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Om een polynoomvergelijking van de eerste graad op te lossen, moeten we het onbekende in het eerste lid geïsoleerd laten. Hiervoor nemen we het getal -4 van het eerste lid en voegen we 4 toe aan beide zijden, aangezien -4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Merk op dat het uitvoeren van dit proces gelijk staat aan het simpelweg doorgeven van het cijfer 4 met het tegenovergestelde teken. Dus, om de onbekende x te isoleren, laten we het getal 2 doorgeven aan het tweede lid, omdat het x vermenigvuldigt. (Denk eraan: de inverse bewerking van vermenigvuldigen is delen). Het zou hetzelfde zijn als beide zijden door 2 delen.
Daarom wordt de oplossingsverzameling gegeven door:
S = {6}
Voorbeeld 5
Los vergelijking 2. opx+5 = 128 wetende dat de heelalverzameling wordt gegeven door U = ℝ.
Laten we eerst het volgende gebruiken om de exponentiële vergelijking op te lossen: potentiëring eigenschap:
Dem + nee = dem · eenNee
We zullen ook gebruik maken van het feit dat 22 = 4 en 25 = 32.
2x+5 = 128
2X · 25 = 128
2X · 32 = 128
Merk op dat het mogelijk is om beide zijden te delen door 32, dat wil zeggen, geef het getal 32 door aan het tweede lid door te delen.
Dus we moeten:
2X = 4
2X = 22
De enige waarde van x die aan gelijkheid voldoet, is het getal 2, dus x = 2 en de oplossingsverzameling wordt gegeven door:
S = {2}
opgeloste oefeningen
vraag 1 – Beschouw de verzameling heelal U = ℕ en bepaal de oplossing van de volgende irrationele vergelijking:
Resolutie
Om deze vergelijking op te lossen, moeten we ons bezighouden met het elimineren van de wortel van het eerste lid. Merk op dat we hiervoor het eerste lid moeten verheffen tot dezelfde index als de wortel, dat wil zeggen tot de kubus. Volgens het gelijkwaardigheidsbeginsel moeten we ook het tweede lid van gelijkheid verhogen.
Merk op dat we nu een polynoomvergelijking van de tweede graad moeten oplossen. Laten we het getal 11 doorgeven aan het tweede lid (aftrekken 11 aan beide zijden van de gelijkheid), om de onbekende x te isoleren.
X2 = 27 – 11
X2 = 16
Om nu de waarde van x te bepalen, zie dat er twee waarden zijn die aan gelijkheid voldoen, x’ = 4 of x’’ = –4, een keer:
42 = 16
en
(–4)2 = 16
Merk echter op in de vraagstelling dat de gegeven universumset de verzameling natuurlijke getallen is, en het getal -4 hoort er niet bij, dus de oplossingsset wordt gegeven door:
S = {4}
vraag 2 – Beschouw de polynoomvergelijking x2 + 1 = 0 wetende dat de heelalverzameling wordt gegeven door U = .
Resolutie
Trek voor het equivalentieprincipe 1 af van beide leden.
X2 + 1 – 1= 0 – 1
X2 = – 1
Merk op dat gelijkheid geen oplossing heeft, aangezien de set van het universum de reële getallen zijn, dat wil zeggen alle waarden waarvan het onbekende kan aannemen dat ze echt zijn, en er is geen reëel getal dat, als het gekwadrateerd is, is negatief.
12 = 1
en
(–1)2 = 1
Daarom heeft de vergelijking geen oplossing in de verzameling reële getallen, en dus kunnen we zeggen dat de verzameling oplossingen leeg is.
S = {}
door Robson Luiz
Wiskundeleraar