Factorisatie van algebraïsche uitdrukkingen. Algebraïsche factorisatiemethoden

DE algebraïsche uitdrukkingsfactorisatie bestaat uit het schrijven van een algebraïsche uitdrukking in productvorm. In praktische gevallen, dat wil zeggen, bij de oplossing van enkele problemen waarbij algebraïsche uitdrukkingen, factorisatie is uiterst nuttig omdat het in de meeste situaties de bewerkte uitdrukking vereenvoudigt.

Om factorisatie van algebraïsche uitdrukkingen uit te voeren, zullen we een zeer belangrijk resultaat in de wiskunde gebruiken, genaamd fundamentele stelling van de rekenkunde, waarin staat dat elk geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als het product van priemgetallen, Kijken:

121 = 11 · 11

60 = 5 · 4 · 3

We hebben net de getallen 121 en 60 buiten beschouwing gelaten.

Lees ook: Ontbinding van een getal in priemfactoren

Methoden voor het ontbinden van algebraïsche uitdrukkingen

Nu zullen we de belangrijkste factorisatiemethoden zien, de meest gebruikte zullen we een korte geometrische rechtvaardiging doen. Kijken:

Factoring van bewijs

Beschouw de rechthoek:

Merk op dat de

instagram story viewer

rechthoek blauw plus het gebied van de groene rechthoek resulteert in de grotere rechthoek. Laten we naar elk van deze gebieden kijken:

DE_BLAUW= b · x

DE_GROEN = b · y

DE_GROTER = b · (x + y)

We moeten dus:

DE_GROTER= A_BLAUW+ A_GROEN

b (x + y) = bx + door

Voorbeelden

De) Om de uitdrukking te ontbinden: 12x + 24y.

Merk op dat 12 de bewijsfactor is, aangezien het in beide percelen voorkomt, dus om de getallen tussen haakjes te bepalen, is het voldoende delen elk pakket door de factor in het bewijs.

12x: 12 = X

24 jaar: 12 = 2 jaar

12x + 24j = 12 · (X + 2 jaar)

B) Om uitdrukking 21ab. te ontbinden² – 70e²B.

Op dezelfde manier wordt in eerste instantie de bewijsfactor bepaald, dat wil zeggen de factor die in de percelen wordt herhaald. Zie dat uit het numerieke deel we de. hebben 7 als een gemeenschappelijke factor, omdat het de factor is die beide getallen deelt. Nu, wat betreft het letterlijke deel, zie dat alleen de factor wordt herhaald ab, daarom is de bewijsfactor: 7ab.

21ab² – 70e²b = 7ab (3b - 10^De)

Lees ook: Polynomiale deling: hoe doe je dat?

Factoring door groepering

De factorisatie door groepering is voortkomend uit factoring door bewijsmateriaal, het enige verschil is dat, in plaats van een monomium als gemeenschappelijke factor of een bewijsfactor te hebben, we een polynoom, zie het voorbeeld:

Beschouw de uitdrukking (a + b) · xy + (a + b) · wz²

Merk op dat de gemeenschappelijke factor de binomiaal is (a + b),daarom is de ontbonden vorm van de vorige uitdrukking:

(a + b) · (xy + wz²)

verschil tussen twee vierkanten

Beschouw twee getallen a en b, als we a. hebben verschil van het kwadraat van deze getallen, dat wil zeggen, de² - B², zodat we ze kunnen schrijven als de product van som voor verschil, dat wil zeggen:

De² - B²= (a + b) · (a - b)

Voorbeelden

De) Om de uitdrukking x. te ontbinden² - ja².

We kunnen het verschil tussen twee vierkanten gebruiken, dus:

X² - ja²= (x + y) · (x - y)

B) Om rekening te houden met 2020² – 2.019².

We kunnen het verschil tussen twee vierkanten gebruiken, dus:

2.020² – 2.019² = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)

2.020² – 2.019² = 4.039 · 1

2.020² – 2.019² = 4.039

Trinominaal van het perfecte vierkant

Neem het volgende vierkant vanaf de zijkant (a + b) en noteer de oppervlakten van de vierkanten en rechthoeken die erin gevormd zijn.

Zie het gebied van plein groter wordt gegeven door (a + b)², maar aan de andere kant kan het gebied van het grootste vierkant worden verkregen door de vierkanten en rechthoeken erin toe te voegen, zoals dit:

(a + b)² = de²+ ab + ab + b²

(a + b)² = de²+ 2b + b²

(a + b)² = de² + 2ab + b²

Op dezelfde manier moeten we:

(a - b)² = de² – 2ab + b²

Voorbeeld

Beschouw de uitdrukking x² + 12x + 36.

Om een uitdrukking van dit type te ontbinden, identificeert u gewoon de coëfficiënt van variabele x en de onafhankelijke coëfficiënt en vergelijkt u deze met de gegeven formule, zie:

X² + 12x + 36

De² + 2ab + b²

Maak de vergelijkingen, zie dat x = a, 2b = 12 en b² = 36; van de gelijkheden hebben we dat b = 6, dus de ontbonden uitdrukking is:

X² + 12x + 36 = (x + 6)²

Trinomiale middelbare school

Overweeg de bijl trinominaal² + bx + c. De gefactoreerde vorm kan worden gevonden met behulp van jouw wortels, dat wil zeggen, de waarden van x die die uitdrukking op nul zetten. Om de waarden te bepalen die deze uitdrukking nul maken, lost u gewoon de vergelijking ax. op² + bx + c = 0 met behulp van welke methode dan ook handig is. Hier lichten we de bekendste methode uit: Bhaskara-methode.

De ontbonden vorm van de bijl trinominaal² + bx + c is:

bijl² + bx + c = een · (x – x₁) · (x - x₂)

Voorbeeld

Beschouw de uitdrukking x² +x – 20.

De eerste stap is het bepalen van de wortels van de x-vergelijking.² + x – 20 = 0.

Dus de ontbonden vorm van de uitdrukking x² + x – 20 is:

(x – 4) · (x + 5)

Kubus van het verschil tussen twee getallen

De derde macht van het verschil tussen twee getallen a en b wordt gegeven door:

(a - b)³ = (a – b) · (a - b)²
(a - b)³ = (a – b) · (a² – 2ab + b²)

Kubus van de som van twee getallen

Evenzo hebben we dat (a + b)³ = (a + b) · (a + b)², spoedig:

(a + b)³ = (a + b) · (a²+ 2ab + b²)

Factorisatie is een instrument dat de resolutie van algebraïsche uitdrukkingen vergemakkelijkt.

opgeloste oefeningen

vraag 1 – (Cefet-MG) Waar het getal n = 684² – 683², de som van de cijfers van n is:

a) 14

b) 15

c) 16

d) 17

e) 18

Resolutie

alternatief d. Om de som van de cijfers van n te bepalen, ontbinden we eerst de uitdrukking, aangezien het berekenen van de kwadraten en vervolgens aftrekken onnodig werk is. Factoring van de uitdrukking met behulp van het verschil tussen twee vierkanten, hebben we:

n = 684² – 683²

n = (684 + 683) · (684 - 683)

n = 1.367 · 1

n = 1.367

Daarom wordt de som van de cijfers van n gegeven door 1 + 3 + 6 + 7 = 17

Vraag 2 - (Gewijzigde Insper-SP) Bepaal de waarde van de uitdrukking: