Als we veelvlakken bestuderen, komen we de tegen Plato's vaste stoffen als een bijzonder geval. Om een Plato-vast lichaam te zijn, moet het veelvlak aan drie voorwaarden voldoen:
convex zijn;
alle vlakken hebben hetzelfde aantal randen;
alle hoekpunten zijn uiteinden van hetzelfde aantal randen.
Verschillende filosofen probeerden de oorsprong van het heelal te begrijpen, en Plato zag het in saw ruimtelijke geometrie de verklaring voor deze oorsprong. Plato's vaste stoffen zijn:
tetraëder;
hexaëder;
octaëder;
dodecaëder;
icosaëder.
Ze worden allemaal beschouwd als regelmatige veelhoeken, omdat hun randen en hun gezichten zijn allemaal congruent. Plato's lichamen respecteren de Euler's relatie, die het aantal hoekpunten, vlakken en randen opsomt met de formule V + F = A + 2.
Lees ook: Wat zijn de verschillen tussen platte en ruimtelijke figuren?
regelmatige veelvlakken
De zoektocht naar regelmatige veelvlakken is terugkerend, omdat ze gemakkelijker zijn om mee te werken. Een veelvlak wordt als regelmatig geclassificeerd als het if
heeft alle gezichten gevormd door hetzelfde veelhoek congruent. Wanneer dit gebeurt, zal de hoeken en randen zijn ook congruent.Plato's vaste stoffen zijn bijzondere gevallen van regelmatige veelvlakken. De kubus, bijvoorbeeld, die een Plato-lichaam is, heeft alle vlakken gevormd door congruente vierkanten. Van Plato's vijf lichamen, drie worden gevormd door driehoekige vlakken met congruente driehoeken, een wordt gevormd door vierkante vlakken en de andere wordt gevormd door vijfhoekige vlakken.
Wat zijn de vaste stoffen van Plato?
Plato was een Griekse filosoof en wiskundige. Hij leverde grote bijdragen aan de wiskunde en, in zijn poging het universum te begrijpen, geassocieerde vaste stoffen met elementen van de natuur.
Om een platonische vaste stof te zijn, moet het veelvlak regelmatig en convex. Er zijn slechts vijf vaste stoffen die aan deze definitie voldoen. Dit zijn: de tetraëder, de kubus of hexahedron, de octaëder, de icosaëder en de dodecaëder.
De relatie tussen het element natuur en de vaste stof was:
tetraëder - vuur
hexaëder - Aarde
octaëder – lucht
icosaëder - Water
dodecaëder – Kosmo of Universum
Om een Plato-solid te zijn, O veelvlak moet ook convex zijn, moeten alle vlakken hetzelfde aantal randen hebben en alle hoekpunten moeten uiteinden van hetzelfde aantal randen zijn.
Zie ook: Kasseien - geometrische lichamen gevormd door platte en veelhoekige vlakken
regelmatige tetraëder
De regelmatige tetraëder is een veelvlak dat heeft 4 gezichten, die zijn naam rechtvaardigt (tetra = vier). al je gezichten zijn gevormd door driehoeken. Het heeft de vorm van een piramide driehoekige basis en staat bekend als een piramide met regelmatige basis, omdat alle vlakken congruent zijn. Het heeft in totaal 4 gezichten (in het formaat van gelijkzijdige driehoek), 4 hoekpunten en 6 randen.
Als je je eigen gewone tetraëder wilt bouwen, download en print dan de PDF hier.
Regelmatige kubus of hexahedron
de reguliere hexahedron heeft 6 gezichten, wat zijn naam rechtvaardigt (hex = zes). je gezichten zijn allemaal plein. Het is ook bekend als een kubus en heeft 6 vlakken, 12 randen en 8 hoekpunten.
Als je je eigen kubus wilt bouwen, download en print dan de PDF hier.
Octaëder
Net als de vorige is de naam gekoppeld aan het aantal gezichten, vandaar de octaëder heeft 8 gezichten. Deze gezichten hebben gelijkzijdige driehoekige vorm. De octaëder heeft 8 vlakken, 12 randen en 6 hoekpunten.
Als je je eigen octaëder wilt bouwen, download en print dan de PDF hier.
icosaëder
De icosaëder heeft in totaal 20 gezichten. Hun gezichten hebben de vorm van gelijkzijdige driehoeken, net als de octaëder. Het heeft in totaal 20 vlakken, 30 randen en 12 hoekpunten.
Als je je eigen icosaëder wilt bouwen, download en print dan de PDF hier.
dodecaëder
De dodecaëder is de laatste vaste stof van Plato. Het heeft in totaal 12 gezichten en het wordt beschouwd als de meer harmonisch onder de vijf Platonische lichamen. Hun gezichten hebben de vorm van vijfhoeken. Het heeft 12 vlakken, 30 randen en 20 hoekpunten.
Als je je eigen dodecaëder wilt bouwen, download en print dan de PDF hier.
Ook toegang: Cilinder - geometrische vaste stof gevormd door twee evenwijdige cirkelvormige vlakken en in verschillende vlakken
Euler's formule
Euleriaanse veelvlakken zijn convexe veelvlakken. Euler ontwikkelde een formule die het aantal vlakken (F), het aantal hoekpunten (V) en het aantal randen (A) in een convex veelvlak relateert. Alle Plato-lichamen voldoen aan de Euler-relatie.
V + F = EEN + 2 |
Het analyseren van de formule, het is dan mogelijk om te berekenen het aantal hoekpunten van het aantal vlakken en randen, of het aantal vlakken van het aantal hoekpunten en randen, kortom, twee van zijn elementen kennende, is het altijd mogelijk om de derde te vinden.
Voorbeeld:
Wetende dat een veelvlak 8 hoekpunten en 12 randen heeft en dat het regelmatig is, hoeveel vlakken heeft het dan?
We weten dat V + F = A+2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - (Enem 2016) Plato's lichamen zijn convexe veelvlakken waarvan de vlakken allemaal congruent zijn aan een enkele veelhoek regulier, alle hoekpunten hebben hetzelfde aantal invallende randen en elke rand wordt gedeeld door slechts twee. gezichten. Ze zijn bijvoorbeeld belangrijk bij het classificeren van de vormen van mineraalkristallen en bij de ontwikkeling van verschillende objecten. Zoals alle convexe veelvlakken respecteren Plato's lichamen de Euler-relatie V - A + F = 2, waarbij V, A en F respectievelijk het aantal hoekpunten, randen en vlakken van het veelvlak zijn.
Wat is de relatie tussen het aantal hoekpunten en het aantal vlakken in een kristal, waarvan de vorm die is van een driehoekig Plato's veelvlak?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Resolutie
alternatief C. Omdat de vlakken driehoekig zijn, weten we dat er voor elk vlak 3 randen zijn. Om het aantal randen echter te relateren aan het aantal vlakken, is het belangrijk om te onthouden dat elke rand is opgenomen op twee vlakken, omdat de ontmoeting van twee vlakken een rand vormt, dus we kunnen in dit geval van rand tot aangezicht relateren per:
Als we de Euler-relatie hebben als V - A + F = 2 en A vervangen, moeten we:
Vraag 2 - Beoordeel uit de onderstaande alternatieven welke geen Plato-lichaam is.
A) Kubus
B) Regelmatige tetraëder
C) Icosaëder
D) Dodecaëder
E) Kegel
Resolutie:
Alternatief E. Van de alternatieven is de enige die niet overeenkomt met een Plato-lichaam de ijshoorntje.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm
