O Argand-Gauss-plan het bestaat uit twee assen: een verticale (bekend als de denkbeeldige as) en een horizontaal (bekend als de reële as). Het is mogelijk geometrisch vertegenwoordigen complexe getallendie in algebraïsche vorm zijn.
Door deze geometrische weergave is het mogelijk enkele concepten ontwikkelen, zoals de module en het argument van een complex getal. Complexe getallen worden algebraïsch weergegeven door z = a + bi, dus worden ze weergegeven door punten (a, b), wat een affix wordt genoemd.
Lees ook: Geometrische weergave van de som van complexe getallen
Geometrische weergave van complexe getallen
Het complexe vlak, ook wel het Argand-Gauss-vlak genoemd, is niets meer dan eencartesiaans vlak voor complexe getallen. In het Argand-Gauss-vlak is het mogelijk om een complex getal weer te geven als een punt, ook wel een affix genoemd. Met de ontwikkeling van het complexplan is er de ontwikkeling analytische meetkunde voor complexe getallen
, wat het mogelijk maakt om belangrijke concepten zoals module en argument te ontwikkelen.Een complex getal weergegeven in zijn algebraïsche vorm is z = a+bi, op wat De is het echte deel en B is het denkbeeldige deel. daarom, complexe getallen worden weergegeven als een punt (a, b). In het Argand-Gauss-vlak is de horizontale as de as van het reële deel en de verticale as de as van het imaginaire deel.
Affix
O punt op het vlak dat een complex getal voorstelt het wordt ook wel een affix genoemd. Er zijn drie mogelijke gevallen van representatie: denkbeeldige affixen, echte affixen en zuivere denkbeeldige affixen.
denkbeeldige affixen
Een affix staat bekend als imaginair wanneer het complexe getal zowel a. heeft reëel deel en imaginair deel niet-nul. In dit geval is de affix een punt in een van de vier kwadranten, afhankelijk van de waarden van a, b en hun respectievelijke tekens.
Voorbeeld:
Zie de weergave van complexe getallen z1 = 2 +3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i en z4= 1 - 4i.
Zie ook: Eigenschappen met complexe getallen
pure denkbeeldige affixen
Een complex getal staat bekend als een puur imaginair, wanneer je reële deel gelijk is aan nul, dat wil zeggen, z = bi. Merk op dat in dit geval de eerste coördinaat altijd nul is, dus laten we werken met punten van het type (0, b). Bij markering in het Argand-Gauss-vlak, altijd een puur denkbeeldige affix zal een punt zijn dat behoort tot de denkbeeldige as, dat wil zeggen, naar de verticale as.
Voorbeeld:
Zie de weergave van complexe getallen z1 = 2i en z2= -3i.
echte affixen
Een complex getal wordt geclassificeerd als a echt nummerwanneer je denkbeeldig deel is gelijk aan nul, dat wil zeggen, z = a. In dit geval is de tweede coördinaat altijd nul, dus we zullen werken met punten van het type (a, 0), dus het imaginaire deel is nul en de affixen bevinden zich in de reële as van het complexe vlak.
Voorbeeld:
Zie de weergave van complexe getallen z1 = 2 en z2 = -4.
Complexe getalmodule
Als je een complex getal voorstelt, laat dan P(a, b) het achtervoegsel zijn van het complexe getal z = a + bi. We kennen als een module van het complexe getal a afstand van punt P tot oorsprong. De modulus van een complex getal z wordt weergegeven door |z|. Om de waarde van |z| te vinden, gebruiken we de de stelling van Pythagoras.
|z|² =a²+b²
We kunnen ook vertegenwoordigen door:
Voorbeeld:
Zoek de modulus van het complexe getal z = 12 -5i.
|z|² = 12² + (-5)²
|z|² 144 + 25
|z|²= 169
|z|=√169
|z| =13
Ook toegang: Wat zijn rationale getallen?
complex getal argument
We weten hoe argument van een complex getal O hoek θ gevormd door vector OP en de reële as. Het argument van een getal wordt weergegeven door arg(z) = θ.
Om de hoek te vinden, gebruiken we de trigonometrische verhoudingen sinus en cosinus.
Om de waarde van het argument te vinden, de sinus en cosinus kennende, gewoon raadpleeg de tabel met waarden voor deze trigonometrische verhoudingen. Meestal is het argument bij toelatingsexamenvragen over dit onderwerp een: opmerkelijke hoek.
Voorbeeld:
Zoek het complexe getalargument z = 1 + i.
Laten we eerst de modulus van z berekenen.
|z|² = 1² + 1²
|z|² = 1+1
|z|² = 2
|z| = √2
Als we |z| kennen, kunnen we de. berekenen sinus en cosinus van de hoek.
De hoek die sinus en cosinus heeft met de gevonden waarden is 45º.
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - Wat is het argument van het complexe getal z = √3+ i ?
A) 30e
B) 45e
C) 60e
D) 90º
E) 120e
Resolutie
alternatief C.
We weten dat a = √3 en b = 1, dus:
Vraag 2 - In het volgende complexe plan zijn enkele getallen weergegeven. Als we het plan analyseren, kunnen we zeggen dat de punten representaties zijn van zuivere denkbeeldige getallen:
A) M, N en ik.
B) P en ik.
C) L en G.
D) O, ik, G.
E) K, J en L.
Resolutie
alternatief B.
Om een zuiver denkbeeldig getal in het complexe vlak te identificeren, is het noodzakelijk dat het zich bovenop de verticale as bevindt, in dit geval de punten P en I.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
