de trigonometrische cirkel is een cirkel met straal 1 weergegeven in de cartesiaans vlak. Daarin is de horizontale as de cosinus-as en de verticale as de sinus-as. Het kan ook een trigonometrische cyclus worden genoemd.
Het wordt gebruikt om de studie van trigonometrische verhoudingen uit te voeren. Hiermee is het mogelijk om de belangrijkste trigonometrische redenen voor hoeken groter dan 180º, namelijk: de sinus, de cosinus en de tangens.
Lees ook: 4 meest voorkomende fouten in basis trigonometrie
Stap voor stap om de trigonometrische cirkel te bouwen
Om de trigonometrische cirkel te construeren, we gebruiken twee assen, een verticale en een horizontale, zoals een Cartesiaans vlak. De horizontale as staat bekend als cosinus as, en de verticale as staat bekend als sinus.
Laten we met de constructie van de assen de grafiek tekenen van een cirkel met straal 1.
Goniometrische verhoudingen in de cirkel
We gebruiken de cirkel om de waarde van te vinden sinus, cosinus en tangens, volgens de hoekwaarde. binnen hebben verticale as de sinuswaarde en op de horizontale as de cosinuswaarde, door een hoek op de trigonometrische cirkel te bepalen, is het mogelijk om de waarde van sinus en cosinus te vinden door de coördinaten van het punt waar het lijnstuk het middelpunt van de cirkel en de omtrek verbindt, weergegeven door P in de afbeelding a volgen. Als we de raaklijn aan de cirkel in het punt (1.0) tekenen, kunnen we de raaklijn van deze hoek ook analytisch berekenen volgens de afbeelding:
Lees ook: Wat zijn secans, cosecans en cotangens?
Trigonometrische cirkelradialen
We weten dat een boog kan worden gemeten met twee verschillende meeteenheden: de maat in graden en de maat in measure radialen. We weten dat de omtrek is 360º en dat de lengte van je boog 2π is:
Kwadranten van de trigonometrische cirkel
Of het nu in radialen of graden is, het is mogelijk om het kwadrant te definiëren waarin een bepaalde boog zich bevindt volgens zijn meting.
Als we de cyclus analyseren, moeten we:
eerste kwadrant: hoeken tussen 0 en 90° of 0 en π/2 radialen;
tweede kwadrant: hoeken tussen 90° en 180° of π/2 en π radialen;
derde kwadrant: hoeken tussen 180º en 270º of π en 3 π/2 radialen;
vierde kwadrant: hoeken tussen 270° en 360° of 3π/2 en 2π radialen.
Lees ook: Plankenmerken en eigenschappen
Opmerkelijke hoeken in de trigonometrische cirkel
Aan het begin van de studie van trigonometrie, hebben we geleerd dat de opmerkelijke hoeken de hoeken zijn van 30º, 45º en 60º, die de waarde hebben van de bekende sinus, cosinus en tangens. Vanwege de symmetrie van de trigonometrische cyclus, het is mogelijk om de sinus- en cosinuswaarden voor deze hoeken en de symmetrische hoeken te vinden voor hem in elk van de kwadranten.
Trigonometrische cirkeltekens
Om te begrijpen wat het teken is van elk van de trigonometrische verhoudingen in de cyclus, volstaat het om de aswaarden in het Cartesiaanse vlak te analyseren.
Laten we beginnen met de cosinus. Aangezien het de horizontale as is, is de cosinus van de hoeken rechts van de verticale as positief en de cosinus van de hoeken links van de verticale as negatief.
Om het sinusteken van een hoek te begrijpen, onthoud gewoon dat de verticale as de sinusas is, dus de sinus van een hoek die boven de horizontale as ligt, is positief; maar als de hoek onder de horizontale as ligt, is de sinus van deze hoek negatief, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:
We weten dat de tangens is de verhouding tussen de sinus en de cosinus, dan, om het teken van de raaklijn voor elk van de kwadranten te vinden, spelen we het tekenspel, dat de raaklijn positief maakt in de oneven kwadranten en negatief in de even kwadranten:
Lees ook: Wat zijn semi-straight, semi-plane en semi-space?
symmetrie in de cirkel
Analyse van de trigonometrische cyclus, het is mogelijk om een manier te construeren om de sinus, cosinus en tangens te reduceren tot het eerste kwadrant. Deze reductie betekent in het eerste kwadrant een hoek vinden die symmetrisch is met een hoek van de andere kwadranten, omdat, wanneer we met een symmetrische hoek werken, de waarde van de trigonometrische verhoudingen hetzelfde is, alleen de signaal.
Verkleining van een hoek in het 2e kwadrant naar het 1e kwadrant
Beginnend met de hoeken die in het 2e kwadrant liggen, moeten we:
Zoals we weten, is sinus in het 1e en 2e kwadrant positief. Dus om de reductie van sinus van het 2e kwadrant naar het 1e kwadrant te berekenen, gebruiken we de formule:
zonde x= zonde (180º - x)
De cosinus en tangens in het 2e kwadrant zijn negatief. Om de cosinus van het 2e kwadrant naar het 1e kwadrant te verkleinen, gebruiken we de formule:
cosx = – cos (180º – x)
tg x = – tg (180º – x)
Voorbeeld:
Wat is de waarde van de sinus en cosinus van een hoek van 120°?
De hoek van 120° is een tweede kwadranthoek, aangezien deze tussen 90° en 180° ligt. Om deze hoek te verkleinen tot het 1e kwadrant, berekenen we:
sin 120° = zonde (180° – 120°)
zonde 120º = zonde 60º
De hoek van 60 ° is een opmerkelijke hoek, dus de sinuswaarde is bekend, dus:
Laten we nu je cosinus berekenen:
cos 120º = – cos (180 – 120)
cos 120º = - cos 60º
Omdat we de cosinus van 60º kennen, moeten we:
Verkleining van een hoek in het 3e kwadrant naar het 1e kwadrant
Net als in het 2e kwadrant is er symmetrie tussen hoeken in het 3e kwadrant en hoeken in het 1e kwadrant.
De sinus en cosinus in het derde kwadrant zijn negatief. Dus om sinus en cosinus van het 3e kwadrant naar het 1e kwadrant te reduceren, gebruiken we de formule:
zonde x = – zonde (x – 180º)
cosx = – cos (x – 180º)
De tangens in het derde kwadrant is positief. Om het te verminderen, gebruiken we de formule:
tg x = tg (x – 180º)
Voorbeeld:
Bereken de sinus, cosinus en tangens van 225º.
sin 225º = – zonde (225º – 180º)
zonde 225º = – zonde 45º
Aangezien 45º een opmerkelijke hoek is, moeten we bij het raadplegen van de tabel:
Nu, om de cosinus te berekenen, moeten we:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
We weten dat tg45º = 1, dus:
tg 225º = 1
Verkleining van een hoek in het 4e kwadrant naar het 1e kwadrant
Met dezelfde redenering als de vorige reducties is er een symmetrie tussen het 4e en 1e kwadrant:
De sinus- en tangenswaarden in het 4e kwadrant zijn negatief. Dus om de reductie van het 4e naar het 1e kwadrant te maken, gebruiken we de formule:
zonde x = – zonde (360º – x)
tg x = – tg (360º – x)
De cosinus in het 4e kwadrant is positief. Dus, om terug te brengen tot het 1e kwadrant, is de formule:
cos x = cos (360º - x)
Voorbeeld:
Bereken de waarde van sinus en cosinus van 330º.
Beginnend met de sinus:
Bereken nu de cosinus:
Lees ook: Hoe de afstand tussen twee punten in de ruimte berekenen?
Trigonometrische cirkel opgeloste oefeningen
vraag 1 - Tijdens de studie van het cirkelvormige moment analyseerde een natuurkundige een object dat om zichzelf roteerde en een hoek van 15.240º vormde. Als we deze hoek analyseren, is de boog die erdoor wordt gevormd in:
A) kwadrant I.
B) kwadrant II.
C) kwadrant III.
D) kwadrant IV.
E) bovenop een van de assen.
Resolutie
alternatief B.
We weten dat dit object elke 360° een cirkel om zichzelf heeft gemaakt. Bij het uitvoeren van de divisie van 15.240 bij 360, zullen we zien hoeveel volledige omwentelingen dit object om zichzelf heeft gemaakt, maar onze grootste interesse gaat uit naar de rest, die de hoek vertegenwoordigt waaronder het stopte.
15.240: 360 = 42,333…
Het resultaat laat zien dat hij 42 omwentelingen om zichzelf maakte, maar 360 · 42 = 15.120, dus hij liet een hoek over van:
15.240 – 15.120 = 120º
We weten dat 120° een tweede kwadranthoek is.
Vraag 2 - Beoordeel de volgende uitspraken:
I → Bij het berekenen van tg 140º is de waarde negatief.
II → De hoek van 200° is een hoek van het 2e kwadrant.
III → Sen 130º = sin 50º.
Markeer het juiste alternatief:
A) Alleen ik is onwaar.
B) Alleen II is onwaar.
C) Alleen III is onwaar.
D) Alles is waar.
Resolutie
alternatief B.
I → Waar, aangezien de hoek van 140º behoort tot het 2e kwadrant, waarin de tangens altijd negatief is.
II → Niet waar, aangezien de hoek van 200° een hoek is van het 3e kwadrant.
III → Klopt, want om een hoek van het 2e naar het 1e kwadrant te verkleinen, bereken je het verschil van 180° – x, dan:
sin 130° = zonde (180° – 130°)
zonde 130ste = zonde 50ste
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm