Goniometrische vergelijkingen zijn gelijkheden waarbij goniometrische functies van onbekende bogen betrokken zijn. Het oplossen van deze vergelijkingen is een uniek proces dat gebruikmaakt van reductietechnieken tot eenvoudigere vergelijkingen. Laten we de concepten en definities van vergelijkingen in de vorm behandelen cosx = a.
Goniometrische vergelijkingen in de vorm cosx = α hebben oplossingen in het interval –1 ≤ x ≤ 1. Het bepalen van de waarden van x die aan dit type vergelijking voldoen, zal aan de volgende eigenschap voldoen: Als twee bogen gelijke cosinuslijnen hebben, dan zijn ze congruent of complementair..
Zij x = α een oplossing van de vergelijking cos x = α. De andere mogelijke oplossingen zijn bogen die congruent zijn met boog α of boog – α (of met boog 2π – α). Dus: cos x = cos. Let op de weergave in de trigonometrische cyclus:
We concludeerden dat:
x = α + 2kπ, met k Є Z of x = – α + 2kπ, met k Є Z
voorbeeld 1
Los de vergelijking op: cos x = √2/2.
Uit de tabel met goniometrische verhoudingen komt √2/2 overeen met een hoek van 45º. Dan:
cos x = √2/2 → cos x = π/4 (π/4 = 180º/4 = 45º)
Dus de vergelijking cosx = √2/2 heeft als oplossing alle bogen die congruent zijn met de boog π/4 of –π/4 of zelfs 2π – π/4 = 7π/4. Let op de afbeelding:
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
We concluderen dat de mogelijke oplossingen van de vergelijking cos x = √2/2 zijn:
x = π/4 + 2kπ, met k Є Z of x = – π/4 + 2kπ, met k Є Z
Voorbeeld 2
Los de vergelijking op: cos 3x = cos x
Als de 3x- en x-bogen congruent zijn:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Als de 3x- en x-bogen complementair zijn:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ/4
x = kπ/2
De oplossing van de vergelijking cos 3x = cos x is {x Є R / x = kπ of x = kπ/2, met k Є Z}.
door Mark Noah
Afgestudeerd in wiskunde
Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Vergelijkingen van het type cos x = a"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm. Betreden op 27 juni 2021.
