Permutatie is een van de onderwerpen die aan bod komen in de discipline combinatorische analyse bij wiskunde. Met een geordende reeks met een "n" aantal verschillende elementen in de hand, wordt elke andere reeks gevormd door dezelfde "n" opnieuw geordende elementen een permutatie.
We kunnen dus zeggen dat als A een permutatie is van B, A en B uit dezelfde elementen bestaan, maar anders geordend.
Waar komen permutaties vandaan?
Permutaties zijn geïsoleerde gevallen van Eenvoudige regelingen. Dit zijn geordende groeperingen van een verzameling A van elementen, zodanig dat de groepen minder of een gelijk aantal elementen hebben dan verzameling A.
De verzameling A = {X, Y, Z}, {X, Y} en {Y, X} is a eenvoudige regeling van de elementen van A genomen 2 naar 2. Het aantal elementen in A wordt weergegeven door de letter "n". O bestellingsnummer, of klas nummer, is "k". Dit aantal is het aantal elementen in elke eenvoudige array (in het geval van het voorbeeld is dit aantal 2).
De lijst met alle eenvoudige arrangementen van de drie elementen van A genomen 3 tot 3 is als volgt:
XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX en YXZ
Deze lijst is precies het specifieke geval van arrangementen die de naam permutatie krijgen.
Berekening van eenvoudige regelingen
Het aantal eenvoudige arrays van een verzameling A, die. heeft Nee elementen genomen k De Oh, kan worden berekend met de volgende formule:
DEnee, oké = Nee!
(n - k)!
Permutatiedefinitie
Laat A een verzameling zijn met Nee onderscheiden elementen. U eenvoudige regelingen van deze elementen genomen n tot n worden genoemd eenvoudige permutaties van A. Om een permutatie te zijn, is het dus noodzakelijk dat het bestelnummer k gelijk zijn aan het getal Nee van elementen van A. Hieruit volgt de volgende berekening:
Als we de formule gebruiken die wordt gebruikt voor eenvoudige arrays en het volgnummer k = n, hebben we:
Dit is de formule die wordt gebruikt om het aantal permutaties van de elementen van verzameling A te berekenen, meestal aangeduid met PNee. Spoedig:
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
PNee = ANee nee = n!
PNee = n!
Voorbeeld
Bereken het aantal permutaties van de letters van het woord LIEFDE.
Oplossing:
Merk op dat het woord LIEFDE 4 verschillende elementen heeft. Om het aantal permutaties van dit woord te berekenen, gebruiken we de bovenstaande formule:
PNee = n!
P4 = 4!
P4 = 4·3·2·1
P4 = 24
Daarom is het mogelijk om 24 verschillende permutaties van de letters van het woord LIEFDE te vormen. Woordpermutaties worden ook wel anagrammen.
Permutaties met herhaalde elementen
Elke set kan herhaalde elementen hebben. Bij permutaties die set moet rekening houden met de herhaling van deze elementen, omdat de volgorde waarin ze verschijnen er niet toe doet, in tegenstelling tot de volgorde van de andere elementen van de set. Als we alleen de twee "A"-en van plaats in het woord AMAR veranderen, krijgen we hetzelfde woord. Gelijke woorden zijn niet permutaties, daarom moet deze herhaling worden afgetrokken in de formule voor de permutaties.
Alle mogelijke herhalingen van elementen in één aftrekken permutatie met herhaalde elementen, we moeten het volgende doen:
Laat A een verzameling zijn met Nee elementen, waarvan k elementen herhalen zich. De formule voor het berekenen van de permutaties van A is:
PNeek = Nee!
k!
Indien ingesteld A, met Nee elementen, bezitten k herhalingen van een element en j herhalingen van een ander, zal de berekening als volgt gebeuren:
PNeehaha = Nee!
k!·j!
Als een verzameling A, met Nee elementen, heeft k herhalingen van een element, j herhalingen van een ander, …, m herhalingen van een ander, neemt de formule de volgende vorm aan:
PNeek, j,...,m = Nee!
k!·j!·... ·m!
Voorbeeld
Bereken het aantal anagrammen van het woord ANTONIA.
Oplossing:
Om het voorbeeld op te lossen, berekent u gewoon de permutaties met herhaalde elementen van het woord ANTONIA. Zowel de letter A als de letter N worden 2 keer herhaald. Kijk maar:
P72,2 = 7!
2!·2!
P72,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1
P72,2 = 5040
4
P72,2 = 1260
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde