Bereken de faculteit van een getal heeft alleen zin als we met natuurlijke getallen werken. Deze operatie is vrij gebruikelijk in combinatorische analyse, het vergemakkelijken van de berekening van rangschikkingen, permutaties, combinaties en andere problemen met tellen. De faculteit is weergegeven door het symbool “!”. We definiëren het als n! (n faculteit) naar vermenigvuldiging van n met al zijn voorgangers totdat je bij 1 bent. Nee! = n · (n – 1)· (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.
Lees ook: Fundamenteel principe van tellen - hoofdconcept van combinatorische analyse
Wat is faculteit?
Factorial is een zeer belangrijke operatie voor de studie en ontwikkeling van combinatorische analyse. In de wiskunde, het nummer gevolgd door de uitroepteken (!) staat bekend als faculteit, bijvoorbeeld x! (x faculteit).
We kennen als een faculteit van a natuurlijk nummer De dit aantal vermenigvuldigen met zijn voorgangers behalve nul, dat wil zeggen:
Nee! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1 |
Het is opmerkelijk dat, wil deze operatie zinvol zijn,
faculteit berekening
Om de faculteit van een getal te vinden, berekent u gewoon het product. Merk ook op dat de faculteit een bewerking is die, wanneer verhoog de waarde van n, het resultaat zal ook veel toenemen.
Voorbeelden:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Per definitie hebben we:
0! = 1
1! = 1
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Factoriële operaties
Om factoriële operaties op te lossen, is het belangrijk om ervoor te zorgen dat u geen fouten maakt. Wanneer we twee faculteiten gaan optellen, aftrekken of vermenigvuldigen, is het noodzakelijk om ze elk afzonderlijk te berekenen. Alleen de divisie heeft specifieke manieren om vereenvoudigingen door te voeren. Maak niet de fout om de operatie uit te voeren en de faculteit te behouden!, hetzij voor optellen en aftrekken of voor vermenigvuldiging.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Bij het oplossen van een van deze bewerkingen moeten we elk van de faculteiten berekenen.
Voorbeelden:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Zie ook: Hoe een vergelijking met faculteit op te lossen?
Factoriële vereenvoudiging
Divisies komen vrij vaak voor. in formules van combinatie, rangschikking en permutatie met herhaling, zullen we altijd onze toevlucht nemen tot vereenvoudiging om problemen met faculteit op te lossen. Laten we daarvoor een paar stappen volgen.
Voorbeeld:
1e stap: identificeer de grootste van de faculteiten - in dit geval is het 8! Nu, als we de noemer analyseren, die 5! is, laten we de vermenigvuldiging van 8 met zijn voorgangers schrijven totdat we bij 5 komen!
De faculteit van een getal n, dat wil zeggen n!, kan worden herschreven als de vermenigvuldiging van n tot k!. Dus,
Nee! = n·(n -1 ) · (n- 2 ) · … · k!, dus laten we 8 herschrijven! zoals de vermenigvuldiging van 8 tot 5!.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Dus laten we de rede herschrijven als:
2e stap: na het herschrijven van de reden, is het mogelijk om de teller te vereenvoudigen met de noemer, aangezien 5! het staat zowel in de teller als in de noemer. Voer na de vereenvoudiging gewoon de vermenigvuldiging uit.
Voorbeeld 2:
Combinatorische en factoranalyse
Bij het uitvoeren van de verder onderzoek in combinatorische analyse, de faculteit van een getal zal altijd verschijnen. De belangrijkste groeperingen in combinatorische analyse, die permutatie, combinatie en rangschikking zijn, gebruiken de faculteit van een getal in hun formules.
Permutatie
DE permutatie en de herschikken van alle elementen van een set. Om een permutatie te berekenen, nemen we onze toevlucht tot faculteit, omdat de permutatie van n elementen wordt berekend door:
PNee = n!
Voorbeeld:
Hoeveel anagrammen kunnen we bouwen met de naam HEITOR?
Dit is een typisch permutatieprobleem. Aangezien er 6 letters in de naam zijn, berekent u gewoon P. om het aantal mogelijke anagrammen te berekenen6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Ook toegang: Permutatie met herhaalde elementen: hoe los je het op?
Arrangementen
Berekenen arrangementen het vereist ook het beheersen van de faculteit van een getal. Arrangement is, net als permutatie, de vorming van een herschikking. Het verschil is, in het arrangement herschikken we een deel van de set, dat wil zeggen, we willen weten hoeveel mogelijke herschikkingen we kunnen vormen door een hoeveelheid k van één te kiezen set met n elementen.
Voorbeeld:
In een bedrijf zijn er 6 kandidaten om de instelling te leiden en worden er twee geselecteerd voor de functies van directeur en plaatsvervangend directeur. Hoeveel mogelijke resultaten zijn er, wetende dat ze door stemming zullen worden gekozen?
In dit geval berekenen we de rangschikking van 6 uit 2 bij 2, aangezien er 6 kandidaten zijn voor twee vacatures.
Combinatie
In de combinatie, zoals in de andere, is het noodzakelijk om de faculteit van een getal onder de knie te krijgen. We definiëren als combinatie u deelverzamelingen van een verzameling. Het verschil is dat er in de combinatie niet opnieuw wordt besteld, omdat de volgorde is niet belangrijk. We berekenen dus hoeveel deelverzamelingen met k elementen we kunnen vormen in een verzameling van n elementen.
Voorbeeld:
Een commissie van 3 studenten wordt gekozen om de klas te vertegenwoordigen. Hoeveel commissies kunnen er gevormd worden, wetende dat er 5 kandidaten zijn?
Lees ook: Arrangement of combinatie?
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - Over de faculteit van een getal, beoordeel de volgende uitspraken.
IK). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Alleen ik is waar.
B) Alleen II is waar.
C) Alleen III is waar.
D) Alleen I en II zijn waar.
E) Alleen II en II zijn waar.
Resolutie
Alternatief A.
ik) Waar.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Vals.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Vals.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Vraag 2 - (UFF) Is het product 20 · 18 · 16 ·14 … · 6 · 4 · 2 gelijk aan?
A) 20:2
B) 2·10!
C) 20:210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Resolutie
Alternatief D.
Als we naar het product van alle even getallen van 2 tot 20 kijken, weten we dat:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Dus we kunnen herschrijven als 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
