Inverse functie: wat is het, grafiek, oefeningen

DE omgekeerde functie, zoals de naam al doet vermoeden, is de functie f(x)^-1, die precies het omgekeerde doet van de functie f(x). Voor een functie om een ​​inverse te ondersteunen, moet het zijn bijector, dat wil zeggen, injector en surjector tegelijkertijd. De vormingswet van een inverse functie doet het tegenovergestelde van wat de functie f(x) doet.

Als de functie bijvoorbeeld een waarde aanneemt van domein en voegt 2 toe, de inverse functie, in plaats van optellen, trekt 2. vind de inverse functie vormingswet het is niet altijd een gemakkelijke taak, omdat het nodig is om de onbekenden x en y om te keren, en om y in de nieuwe vergelijking te isoleren.

Lees ook:Functie - alles wat u moet weten om het onderwerp onder de knie te krijgen

Wanneer ondersteunt een functie inverse?

Grafische weergave van een functie en zijn inverse functie.

Een rol is omkeerbaar, dat wil zeggen, het heeft een inverse functie, als, en alleen als, het is bijector. Het is belangrijk om te onthouden wat een bijector functie

, wat een functie is injector, dat wil zeggen, elk element van de afbeelding heeft een enkele domeincorrespondent. Dit betekent dat verschillende elementen in set A moeten worden geassocieerd met verschillende elementen in de set B, dat wil zeggen dat er geen twee of meer elementen van set A kunnen zijn die hetzelfde corresponderen in de zet B.

Een rol is surjectief als de afbeelding gelijk is aan het tegendomein, dat wil zeggen, er is geen element in set B waaraan geen element in set A is gekoppeld.

Laat de functie f: A → B, waarbij A het domein is en B het tegendomein, de inverse functie van f zal de functie zijn die wordt beschreven door f^-1 : B→ A, dat wil zeggen, het domein en het tegendomein zijn omgekeerd.

Voorbeeld:

De functie f: A → B is bijectief, omdat het injectief is (er zijn immers verschillende elementen in A geassocieerd met verschillende elementen in B) en het is ook surjectief, omdat er geen element meer is in set B, dat wil zeggen, het tegendomein is hetzelfde als set Beeld.

Daarom is deze functie inverteerbaar, en de inverse is:

Hoe wordt de inverse functievormingswet bepaald?

Om de inverse functievormingswet te vinden, hebben we nodig: keer de onbekenden om, dat wil zeggen, x vervangen door y en y door x, en dan de onbekende y isoleren. Hiervoor is het belangrijk dat de functie inverteerbaar is, dat wil zeggen bijector.

→ voorbeeld 1

Zoek de vormingswet van de inverse functie van f (x) = x + 5.

Resolutie:

We weten dat f(x) = y, dus y = x + 5. Als we de inversie van x en y uitvoeren, vinden we het volgende: vergelijking:

x = y + 5

Laten we nu de y isoleren:

– 5 + x = y
y = x – 5

Het is duidelijk dat als f(x) 5 optelt bij de waarde van x, dan is de inverse f(x) ^{- 1} zal het omgekeerde doen, namelijk x min 5.

→ Voorbeeld 2

Gegeven de functie waarvan de vormingswet f(x) = 2x – 3 is, wat is dan de vormingswet van zijn inverse?

→ Voorbeeld 3

Bereken de vormingswet van de inverse van de functie y = 2^X.

Resolutie:

y = 2^X
Veranderen van x voor y:
x = 2^ja

toepassen logaritme aan beide kanten:

log₂x = log₂2^ja
log₂x = ylog₂2
log₂x = y · 1
log₂x = y
y = log₂X

Lees ook: Verschillen tussen functie en vergelijking

Inverse functiegrafiek

De grafiek van de inverse functie f ^-1 het zal altijd symmetrisch zijn met de grafiek van de functie f in relatie tot de lijn y = x, wat het mogelijk maakt om het gedrag van deze te analyseren functies, hoewel we de inverse functievormingswet in sommige gevallen niet kunnen beschrijven, vanwege zijn complexiteit.

Lees ook: Hoe teken je een functie?

Oefeningen opgelost

1) Als f^-1 is de inverse functie van f, die van R naar R gaat, waarvan de vormingswet f (x) = 2x – 10, de numerieke waarde van f ^-1(2) é:

naar 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Resolutie:

→ 1e stap: zoek de inverse van f.

→ 2e stap: vervang 2 in plaats van x in f ^-1(X).

alternatief C.

2) Zij f: A → B een functie waarvan de vormingswet is f (x) = x² + 1, waarbij A {-2, -1, 0, 1, 2} en B = {1,2,5}, het is juist om te zeggen dat:

a) de functie is inverteerbaar, want het is bijector.

b) de functie is niet inverteerbaar, omdat hij niet injecteert.

c) de functie is niet inverteerbaar, want het is niet surjectief

d) de functie is niet inverteerbaar, aangezien deze noch surjectief, noch injecterend is.

e) de functie is niet inverteerbaar, omdat het een bijector is.

Resolutie:

Om de functie inverteerbaar te maken, moet deze bijectief zijn, dat wil zeggen surjectief en injecterend. Laten we eerst analyseren of het surjectief is.

Om de functie surjectief te laten zijn, moeten alle elementen van B een tegenhanger hebben in A. Laten we, om dit te weten, elk van zijn numerieke waarden berekenen.

f (-2) = (-2)² +1 = 4+1=5

f (-1) = (-1)² +1 = 1+1=2

f (0) = 0² +1 = 0+1=1

f(1) = 1² +1 = 1+1=2

f(2) = 2² +1 = 4+1=5

Merk op dat alle elementen van B {1,2,5} een corresponderende in A hebben, waardoor de functie surjectief.

Om deze functie te injecteren, moeten elementen die onderscheiden zijn van A verschillende afbeeldingen hebben in B, wat niet gebeurt. Merk op dat f(-2) = f (2) en ook dat f(-1) = f (1), waardoor de functie niet injecteren. Omdat het geen injector is, is het ook niet omkeerbaar; daarom, alternatief b.

Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm