Exponentiële functie: typen, grafiek, oefeningen

DE exponentiële functie treedt op wanneer, in zijn vormingswet, de variabele in de exponent staat, met domein en tegendomein in de echte getallen. Het domein van de exponentiële functie zijn de reële getallen en het tellerdomein zijn de positieve reële getallen die niet nul zijn. Uw opleidingsrecht kan worden beschreven door: f(x) =De^X, op wat De is een positief reëel getal anders dan 1.

O grafisch van een exponentiële functie zal altijd in het eerste en tweede kwadrant van het cartesiaanse vlak zijn, en kan toenemen, wanneer De is een getal groter dan 1, of afnemend wanneer De is een positief getal kleiner dan 1. DE omgekeerde functie van de exponentiële functie is de logaritmische functie, waardoor de grafieken van deze functies altijd symmetrisch zijn.

Lees ook: Wat is functie?

Wat is een exponentiële functie?

Zoals de naam al doet vermoeden, is de term exponentieel gekoppeld aan exponent. Dus de exponentiële functiedefinitie is a functie waarvan domein

instagram story viewer

is de verzameling reële getallen en het tegendomein is de verzameling positieve reële getallen die niet nul is., beschreven door : ℝ → ℝ*₊. De vormingswet wordt beschreven door de vergelijking f (x) = De^X, op wat De het is een reëel getal, positief, niet nul en gegeven de basisnaam.

Voorbeelden:

In de vormingswet kan f (x) ook worden beschreven als y en, net als in de andere functies, is het bekend als een afhankelijke variabele, omdat de waarde ervan afhangt van x, wat bekend staat als een variabele. onafhankelijk.

Exponentiële functietypen

De exponentiële functies kunnen worden ingedeeld in twee verschillende gevallen. Rekening houdend met het gedrag van de functie, kan het oplopend of aflopend.

Een exponentiële functie wordt toenemend genoemd als, naarmate de waarde van x toeneemt, de waarde van f(x) ook toeneemt. Dit gebeurt wanneer de basis groter is dan 1, dat wil zeggen: De > 1.

Voorbeeld:

Grafiek van een toenemende exponentiële functie

Een exponentiële functie wordt als afnemend beschouwd als, naarmate de waarde van x toeneemt, de waarde van f(x) afneemt. Dit gebeurt wanneer het grondtal een getal is tussen 0 en 1, dat wil zeggen, 0 < De < 1.

Voorbeeld:

Grafiek van een aflopende exponentiële functie

Lees ook: Verschillen tussen functie en vergelijking

Exponentiële functiegrafiek

Om de grafische weergave van een exponentiële functie te tekenen, is het nodig om de afbeelding voor sommige domeinwaarden te vinden. De grafiek van een exponentiële functie heeft het kenmerk van een veel grotere groei dan die van lineaire functiesbij een stijging, of een grotere daling bij een daling.

Voorbeelden:

a) Bouw de grafiek van de functie: f (x) = 2^X.

Sinds >1 is deze functie aan het toenemen. Laten we, om de grafiek te bouwen, enkele waarden toewijzen aan x, zoals weergegeven in de volgende tabel:

Nu we enkele punten van de functie kennen, is het mogelijk om ze te markeren in de cartesiaans vlak en plot de exponentiële functiecurve.

b) Bouw de grafiek van de volgende functie:

In dit geval is de functie aflopend, aangezien de basis een getal tussen 0 en 1 is, zal de grafiek aflopend zijn.

Na het vinden van enkele numerieke waarden, is het mogelijk om in het Cartesiaanse vlak de grafiek van de functie weer te geven:

Exponentiële functie-eigenschappen

→ 1e eigendom

In elke exponentiële functie, ongeacht de basiswaarde De, We moetenf (0) = 1. We weten tenslotte dat dit een potentie eigenschap, dat wil zeggen, elk getal dat tot 0 wordt verhoogd, is 1. Dit betekent dat de grafiek elke keer de verticale as snijdt in punt (0.1).

→ 2e eigendom

De exponentiële functie is injector. Gegevens x₁ en x₂ zodanig dat x₁ x₂, dus de afbeeldingen zullen ook anders zijn, dwz f(x₁) ≠ f(x₂), wat betekent dat er voor elke afbeeldingswaarde één enkele waarde in het domein is die overeenkomt met die afbeelding.

Injectief zijn betekent dat voor andere waarden dan y, er een enkele waarde van x zal zijn die f(x) gelijk maakt aan y.

→ 3e eigendom

Het is mogelijk om het gedrag van de functie te kennen op basis van zijn basiswaarde. De grafiek zal groeien als de basis groter is dan 1 (De > 1) en afnemend als het grondtal kleiner is dan 1 en kleiner dan 0 (0 < tot < 1).

→ 4e eigendom

O grafiek van de exponentiële functie is altijd in het 1e en 2e kwadrant, omdat het tegendomein van de functie de positieve reële getallen zijn die niet nul zijn.

Lees ook: Hoe teken je een functie?

Exponentiële functie en logaritmische functie

Aangezien de exponentiële functie een functie is die inverse toelaat, is deze vergelijking tussen exponentiële functie en logaritmische functie onvermijdelijk. blijkt dat de logaritmische functie is de inverse functie van de exponentiële. De grafieken van deze functies zijn symmetrisch om de bissectrice van de x-as. Een inverse functie zijn betekent dat de logaritmische functie doet het tegenovergestelde van wat de exponentiële functie doet, dat wil zeggen, in de exponentiële functie, als f (x) = y, dan wordt de logaritmische functie, die invers is, aangeduid met f^-1 de f^-1 (y) = x.

De grafiek van de exponentiële functie is symmetrisch met de grafiek van de logaritmische functie.

opgeloste oefeningen

(Enem 2015) De vakbond van een bedrijf suggereert dat de salarisvloer van de klas R$ 1.800,00 is, en stelt een vaste procentuele verhoging voor voor elk jaar dat aan werk wordt besteed. De uitdrukking die hoort bij het salarisvoorstel(len), als functie van anciënniteit (t), in jaren, is s (t) = 1800·(1,03)^t.

Volgens het voorstel van de vakbond zal het salaris van een professional van dit bedrijf met 2 jaar dienst in real

a) 7.416.00

b) 3.819,24

c) 3.709,62

d) 3.708,00

e) 1909.62

Resolutie:

We willen het beeld van de functie berekenen als t = 2, dat wil zeggen s(2). Als we t = 2 in de formule vervangen, vinden we dat:

s (2) = 1800 · (1.03)²

s(2) = 1800 · 1.0609

s(2) = 1909,62

Alternatieve E

2) (Enem 2015) De toevoeging van technologieën aan het industriële productiesysteem heeft tot doel de kosten te verlagen en de productiviteit te verhogen. In het eerste jaar van haar bestaan produceerde een industrie 8000 eenheden van een bepaald product. Het jaar daarop investeerde het in technologie, schafte het nieuwe machines aan en verhoogde het de productie met 50%. Naar schatting zal deze procentuele stijging zich de komende jaren herhalen, waardoor een jaarlijkse groei van 50% wordt gegarandeerd. Laat P de jaarlijkse hoeveelheid producten zijn die in het jaar t van de activiteit van de industrie worden geproduceerd.

Als de schatting is bereikt, wat is dan de uitdrukking die het aantal geproduceerde eenheden bepaalt? Pin functie van t, voor t ≥ 1?

De) P(t) = 0,5 · t ^-1 + 8 000

B)P(t) = 50 · t ^-1+ 8000

ç)P(t) = 4 000 · t^-1 + 8 000

d)P(t) = 8 000 · (0,5)^t-1

en)P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1

Resolutie:

Merk op dat er een verband is tussen het jaar t en de hoeveelheid van een bepaald product P. Wetende dat er voor elk jaar een stijging van 50% is, betekent dit dat, wanneer de productie van een jaar ervoor en erna wordt vergeleken, de waarde van het tweede overeenkomt met 150%, wat wordt weergegeven door 1,5. Wetende dat de initiële productie 8000 is en dat dit in het eerste jaar de productie was, kunnen we deze situatie beschrijven door:

In het eerste jaar, dat wil zeggen, als t= 1 → s (t) = 8 000.
In het tweede jaar, als t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
In het derde jaar, als t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
Na t jaar hebben we P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1.