Stelling van polynomiale ontbinding

De fundamentele stelling van de algebra voor veeltermvergelijkingen garandeert dat "elke graad polynoom n. 1 heeft ten minste één complexe wortel". Het bewijs van deze stelling werd in 1799 geleverd door de wiskundige Friedrich Gauss. Hieruit kunnen we aantonen dat polynomiale ontledingsstelling, wat garandeert dat elke polynoom kan worden ontleed in factoren van de eerste graad. Neem de volgende polynoom p(x) van rang n 1 en de_Nee ≠ 0:

p(x) = a_Nee X^Nee + de_n-1 X^n-1 + … + de₁X¹ + de₀

Via de fundamentele stelling van de algebra kunnen we stellen dat dit polynoom minstens één complexe wortel heeft. jij₁, zoals dat p(u₁) = 0. O Stelling van D'Alembert naar de deling van polynomen stelt dat als p(u₁) = 0, dan p(x) is deelbaar door (x - u₁), wat resulteert in een quotiënt wat₁(X), wat een graadpolynoom is (n - 1), wat ons ertoe brengt te zeggen:

p (x) = (x - u₁). wat₁(X)

Uit deze vergelijking moeten twee mogelijkheden worden benadrukt:

Als u = 1 en wat₁(X) is een polynoom van graad (n - 1), dan wat₁(X)

heeft een diploma 0. Als de dominante coëfficiënt van p(x) é De_Nee, wat₁(X) is een constant polynoom van het type wat₁(X)=De_Nee. Dus we hebben:

p (x) = (x - u₁). wat₁(X)
(x) = (x - u₁). De_Nee
p(x) = a_Nee . (x - u₁)

Maar als jij 2, dan de polynoom wat₁ heeft een diploma n - 1 ≥ 1 en de fundamentele stelling van de algebra geldt. We kunnen zeggen dat de polynoom wat₁ heeft ten minste één wortel Nee₂, wat ons ertoe brengt te zeggen dat wat₁ kan worden geschreven als:

wat₁(x) = (x - u₂). wat₂(X)

Maar hoe p (x) = (x - u₁). wat₁(X), we kunnen het herschrijven als:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). wat₂(X)

Door dit proces achtereenvolgens te herhalen, hebben we:

p(x) = a_Nee. (x - u₁). (x - u₂) … (x – u_Nee)

We kunnen dus concluderen dat elke polynoom of polynoomvergelijking p(x) = 0 van rang n. 1 precies bezitten Nee complexe wortels.​

Voorbeeld: Worden p(x) een polynoom van graad 5, zodanig dat zijn wortels zijn – 1, 2, 3, – 2 en 4. Schrijf deze polynoom ontleed in 1e graads factoren, rekening houdend met de dominante coëfficiënt gelijk aan 1. Het moet in uitgebreide vorm worden geschreven:

als – 1, 2, 3, – 2 en 4 zijn wortels van de polynoom, dus het product van de verschillen van X voor elk van deze wortels resulteert in p(x):

p(x) = a_Nee.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

Als de dominante coëfficiënt De_Nee = 1, we hebben:

p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x⁴ – 2x³ – 7x² + 8x + 12) (x – 4)
p(x) = x⁵ – 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Door Amanda Gonçalves
Afgestudeerd in wiskunde

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm