Inverse matrix: wat is het, hoe vind je oefeningen

Het concept van inverse matrix komt heel dicht bij het concept van de inverse van een getal. Laten we niet vergeten dat de inverse van een getal Nee is het nummer Nee^-1, waarbij het product tussen de twee gelijk is aan het neutrale element van de vermenigvuldiging, dat wil zeggen, de nummer 1. Nu al de inverse van matrix M is matrix M^-1, waarbij het product M · M^-1is gelijk aan de identiteitsmatrix I_Nee,wat niets meer is dan het neutrale element van matrixvermenigvuldiging.

Om ervoor te zorgen dat de matrix een inverse heeft, moet deze vierkant zijn en bovendien moet de determinant ervan verschillen van nul, anders is er geen inverse. Om de inverse matrix te vinden, gebruiken we de matrixvergelijking.

Lees ook: Driehoekige matrix - speciaal type vierkante matrix

Wil een matrix een inverse hebben, dan moet deze vierkant zijn.

identiteitsmatrix

Om te begrijpen wat de inverse matrix is, is het eerst nodig om de identiteitsmatrix te kennen. We kennen als identiteitsmatrix de vierkante matrix I

instagram story viewer

_Nee waarbij alle elementen van de hoofddiagonaal gelijk zijn aan 1 en de andere termen gelijk zijn aan 0.

DE identiteitsmatrix is het neutrale element van vermenigvuldiging tussen matrices., dat wil zeggen, gegeven a hoofdkwartier M van orde n, het product tussen matrix M en matrix I_Nee is gelijk aan matrix M.

M · ik_Nee = M

Hoe de inverse matrix te berekenen

Om de inverse matrix van M te vinden, is het nodig om een matrixvergelijking op te lossen:

M · M^-1 = ik_Nee

Voorbeeld

Zoek de inverse matrix van M.

Aangezien we de inverse matrix niet kennen, laten we deze matrix algebraïsch weergeven:

We weten dat het product tussen deze matrices gelijk moet zijn aan I₂:

Laten we nu de matrixvergelijking oplossen:

Het is mogelijk om het probleem in tweeën te splitsen systemen van vergelijkingen. De eerste gebruikt de eerste kolom van de matrix M ·M^-1 en de eerste kolom van de identiteitsmatrix. We moeten dus:

Laten we, om het systeem op te lossen, de. isoleren₂₁ in vergelijking II en substitueer in vergelijking I.

Substitueren in vergelijking I, we moeten:

Hoe vinden we de waarde van a₁₁, dan vinden we de waarde van a₂₁:

De waarde van a. kennen₂₁ en de₁₁, nu zullen we de waarde van de andere termen vinden door het tweede systeem in te stellen:

het isoleren van de₂₂ in vergelijking III moeten we:

3e₁₂ + 1e₂₂= 0

De₂₂ = – 3e₁₂

Substitueren in vergelijking IV:

5e₁₂ + 2e₂₂=1

5e₁₂ + 2·( - 3e₁₂) = 1

5e₁₂ – 6e₁₂ = 1

- een₁₂ = 1 ( – 1)

De₁₂ = – 1

De waarde van a. kennen₁₂, vinden we de waarde van a₂₂:

De₂₂ = – 3e₁₂

De₂₂ = – 3 · ( – 1)

De₂₂ = 3

Nu we alle termen van de matrix M. kennen^-1, is het mogelijk om het weer te geven:

Lees ook: Optellen en aftrekken van matrices

Inverse matrixeigenschappen

Er zijn eigenschappen die het resultaat zijn van het definiëren van een inverse matrix.

1e eigendom: de inverse van de matrix M^-1 is gelijk aan matrix M. De inverse van een inverse matrix is altijd de matrix zelf, dat wil zeggen (M^-1)^-1 = M, omdat we weten dat M^-1 · M = I_Nee, daarom M^-1 is de inverse van M en ook M is de inverse van M^-1.
2e eigendom: de inverse van een identiteitsmatrix is zelf: I^-1 = I, omdat het product van de identiteitsmatrix op zichzelf resulteert in de identiteitsmatrix, dat wil zeggen, I_Nee · ik_Nee = ik_Nee.
3e eigendom: het omgekeerde van product van twee matrixben jij is gelijk aan het product van de inverses:

(M×H)^-1 = M^-1· EEN^-1.

4e eigendom: een vierkante matrix heeft inverse als en slechts dan als zijn bepalend verschilt van 0, dat wil zeggen, det(M) ≠ 0.

opgeloste oefeningen

1) Gegeven matrix A en matrix B, wetende dat ze inverse zijn, dan is de waarde van x+y:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Resolutie:

alternatief d.

De vergelijking opbouwen:

A · B = I

Door de tweede kolom, door de termen gelijk te stellen, hebben we:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Isoleren van x in I:

vervangen in vergelijking II, we moeten:

Als we de waarde van y kennen, zullen we de waarde van x vinden:

Laten we nu x + y berekenen:

vraag 2

Een matrix heeft alleen een inverse als de determinant anders is dan 0. Kijkend naar de onderstaande matrix, wat zijn x-waarden die ervoor zorgen dat de matrix geen inverse ondersteunt?