Rationalisatie van noemers is de techniek die wordt gebruikt wanneer a fractie heeft een irrationeel getal in de noemer en u wilt een tweede breuk vinden die gelijk is aan de eerste breuk, maar die geen irrationeel getal in de noemer heeft. Om dit te doen, is het noodzakelijk om wiskundige bewerkingen uit te voeren om de breuk te herschrijven, zodat deze geen onnauwkeurige wortel in de noemer heeft.
Lees ook: Hoe bewerkingen met breuken oplossen?
Hoe noemers te rationaliseren?
We beginnen met het eenvoudigste geval van het rationaliseren van noemers en gaan verder met het meest complexe, maar de techniek zelf is om te zoeken naar een equivalente fractie de teller en noemer vermenigvuldigen met een handig getal waarmee de wortel van de noemer van de breuk kan worden geëlimineerd. Bekijk hieronder hoe u dit in verschillende situaties kunt doen.
Rationalisatie wanneer er een vierkantswortel in de noemer staat
Er zijn enkele breuken die kunnen worden weergegeven met irrationele nummers in de noemers. Zie enkele voorbeelden:
Wanneer de breuknoemer irrationeel is, gebruiken we enkele technieken om deze om te zetten in een rationele noemer, zoals rationalisatie. wanneer er een is vierkantswortel in de noemer kunnen we verdelen in twee gevallen. De eerste is wanneer de breuk slechts één wortel in zijn radicaal heeft.
voorbeeld 1:
Om deze noemer te rationaliseren, zoeken we de breuk die gelijk is aan deze, maar die geen irrationele noemer heeft. Laten we hiervoor teller en noemer vermenigvuldigen met hetzelfde getal — in dit geval is het precies de noemer van de breuk, dat wil zeggen √3.
Bij vermenigvuldiging van breuken, vermenigvuldigen we recht. We weten dat 1 · √3 = √3. In de noemer hebben we dat √3 ·√3 = √9 = 3. Daarmee komen we tot het volgende:
Daarom hebben we een weergave van de breuk waarvan de noemer geen irrationeel getal is.
Voorbeeld 2:
Het tweede geval is wanneer er een toevoeging of een verschil tussen een onnauwkeurige wortel.
Als er een verschil of toevoeging is van termen in de noemer, waarvan één de niet-exacte wortel is, we vermenigvuldigen de teller en de noemer met de vervoeging van de noemer. We noemen de geconjugeerde van √2 – 1 de inverse van het tweede getal, dat wil zeggen, √2 + 1.
Als we de vermenigvuldiging met de teller uitvoeren, moeten we:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
De noemer is de opmerkelijk product bekend als product van som voor verschil. Het resultaat is altijd het kwadraat van de eerste term minus het kwadraat van de tweede term.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Dus, om de noemer van deze breuk te rationaliseren, moeten we:
Zie ook: Drie veelgemaakte fouten bij de vereenvoudiging van algebraïsche breuken
Rationalisatie wanneer er een indexwortel groter is dan 2
Kijk nu naar enkele voorbeelden wanneer er in de noemer een wortel van indices groter dan 2 is.
Aangezien het doel is om de radicaal te elimineren, laten we de noemer vermenigvuldigen zodat de wortel van die noemer kan worden opgeheven.
voorbeeld 1:
Laten we in dit geval, om de exponent van het radicaal te elimineren, vermenigvuldig met de derdemachtswortel van 2² in de teller en noemer, zodat het binnen het radicaal 2³ verschijnt en het dus mogelijk is om de derdemachtswortel te annuleren.
Door de vermenigvuldiging uit te voeren, moeten we:
Voorbeeld 2:
Laten we met dezelfde redenering de noemer en teller vermenigvuldigen met een getal dat de. veroorzaakt potentie van de noemer naar de index, dat wil zeggen, laten we vermenigvuldigen met de vijfde wortel van 3 in blokjes zodat u de noemer kunt annuleren.
Lees ook: Hoe algebraïsche breuken te vereenvoudigen?
Oefeningen opgelost
vraag 1 – Als we de noemer van de onderstaande breuk rationaliseren, vinden we:
A) 1 + √3.
B) 2(1 + √3).
C) – 2(1+ √3).
D) √3.
E) √3 –1.
Resolutie
alternatief C.
Vraag 2 - (IFCE 2017 — aangepast) Als we de waarden van √5 en √3 tot op de tweede decimaal benaderen, krijgen we respectievelijk 2,23 en 1,73. Bij benadering is de waarde van de volgende numerieke uitdrukking tot op de tweede decimaal:
A) 1.98.
B) 0,96.
C) 3.96.
D) 0,48.
E) 0,25.
Resolutie
Alternatief E.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm