Rationele Wortels Stelling

Houd rekening met de veeltermvergelijking hieronder waar alle coëfficiënten De_Neezijn gehele getallen:

De_NeeX^Nee + de_n-1X^n-1 + de_n-2X^n-2 + … + de₂X² + de₁x + a₀ = 0

O Rationele Wortels Stelling garandeert dat als deze vergelijking het rationale getal toelaat ^P/_wat als root (met P, wat  en mdc (p, q) = 1), dan De₀ is deelbaar door P en De_Nee is deelbaar door wat.

Opmerkingen:

1º) De stelling van rationale wortels garandeert niet dat de veeltermvergelijking wortels heeft, maar als ze wel bestaan, stelt de stelling ons in staat om te identificeren alle wortels van de vergelijking;

2º) als De_Nee= 1 en de andere coëfficiënten zijn allemaal gehele getallen, de vergelijking heeft alleen gehele wortels.

3°) als q = 1 en er zijn rationele wortels, deze zijn geheel en delers van De₀.

Toepassing van de stelling van rationale wortels:

Laten we de stelling gebruiken om alle wortels van de veeltermvergelijking te vinden 2x⁴ + 5x³ – 11x² – 20x + 12 = 0.

Laten we eerst de mogelijke rationale wortels van deze vergelijking identificeren, dat wil zeggen de wortels van de vorm

^P/_wat. Volgens de stelling, De₀ is deelbaar door P; op deze manier, hoe? De₀ = 12, dan de mogelijke waarden van P zijn {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Analoog moeten we De_Nee is deelbaar door wat en De_Nee = 2, dan wat kan de volgende waarden hebben: {±1, ±2}. Daarom, het delen van de waarden van P per wat, we krijgen mogelijke waarden ^P/_wat wortels van de vergelijking: {+½, – ½, +1, – 1, +³/_{2, –}³/₂, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.

Om te bevestigen dat de gevonden waarden echt de wortel van de polynoomvergelijking zijn, vervangen we elke waarde in plaats van de X van de vergelijking. Door algebraïsche calculus, als de polynoom resulteert in nul, dus het gesubstitueerde getal is eigenlijk de wortel van de vergelijking.

2x⁴ + 5x³ – 11x² – 20x + 12 = 0

Voor x = + ½

2.(½)⁴ + 5.(½)³ – 11.(½)² – 20.(½) + 12 = 0

Voor x = – ½

2.(– ½)⁴ + 5.(– ½)³ – 11.(– ½)² – 20.(– ½) + 12 = ⁷⁵/₄

Voor x = + 1

2.1⁴ + 5.1³ – 11.1² – 20.1 + 12 = – 12

Voor x = – 1

2.(– 1)⁴ + 5.(– 1)³ – 11.(– 1)² – 20.(– 1) + 12 = 18

Voor x = + ³/₂

2.(³/₂)⁴ + 5.(³/₂)³ – 11.(³/₂)² – 20.(³/₂) + 12 = – ⁶³/₄

Voor x = - ³/₂

2.(– ³/₂)⁴ + 5.(– ³/₂)³ – 11.(– ³/₂)² – 20.(– ³/₂) + 12 = ²¹/₂

Voor x = + 2

2.2⁴ + 5.2³ – 11.2² – 20.2 + 12 = 0

Voor x = – 2

2.(– 2)⁴ + 5.(– 2)³ – 11.(– 2)² – 20.(– 2) + 12 = 0

Voor x = + 3

2.3⁴ + 5.3³ – 11.3² – 20.3 + 12 = 150

Voor x = – 3

2.(– 3)⁴ + 5.(– 3)³ – 11.(– 3)² – 20.(– 3) + 12 = 0

Voor x = + 4

2.4⁴ + 5.4³ – 11.4² – 20.4 + 12 = 588

Voor x = – 4

2.(– 4)⁴ + 5.(– 4)³ – 11.(– 4)² – 20.(– 4) + 12 = 108

Voor x = + 6

2.6⁴ + 5.6³ – 11.6² – 20.6 + 12 = 3168

Voor x = – 6

2.(– 6)⁴ + 5.(– 6)³ – 11.(– 6)² – 20.(– 6) + 12 = 1248

Voor x = + 12

2.12⁴ + 5.12³ – 11.12² – 20.12 + 12 = 48300

Voor x = – 12

2.(– 12)⁴ + 5.(– 12)³ – 11.(– 12)² – 20.(– 12) + 12 = 31500

Daarom zijn de wortels van de polynoomvergelijking 2x⁴ + 5x³ – 11x² – 20x + 12 = 0 zij zijn {– 3, – 2, ½, 2}. Door polynomiale ontledingsstelling, kunnen we deze vergelijking schrijven als (x + 3).(x + 2).(x – ½).(x – 2)= 0.

Door Amanda Gonçalves
Afgestudeerd in wiskunde

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm