Veelhoeken zijn foto's platte geometrie en gesloten gevormd door rechte segmenten. De polygonen zijn verdeeld in twee groepen, de convex en de niet convex. Als een veelhoek alle zijden gelijk heeft en dus alle hoeken intern gelijk, het is een veelhoek regelmatig. Regelmatige veelhoeken kunnen worden benoemd op basis van het aantal zijden.
Zie ook: Constructie van omgeschreven veelhoeken
Elementen van een veelhoek
Polygoon is een platte, gesloten figuur gevormd door de vereniging van een eindig aantal rechte lijnsegmenten. Overweeg dus elke polygoon:
Punten A, B, C, D, E, F, G en H zijn de hoekpunten van de veelhoek en worden gevormd door de ontmoeting van de segmenten AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH en HA, genaamd zijkanten van de veelhoek.
De segmenten AF, AE, AD en BG zijn de diagonalen van de veelhoek. (Merk op dat dit enkele voorbeelden zijn van diagonalen, in de vorige polygoon hebben we er meer van.) Diagonalen zijn lijnsegmenten die de hoekpunten van de veelhoek "verbinden".
Nomenclatuur van een veelhoek
We kunnen de polygonen een naam geven op basis van hun aantal kanten. Zie de naam van de belangrijkste polygonen in de onderstaande tabel.
Aantal zijden (n) |
Nomenclatuur |
3 |
driehoek |
4 |
vierhoek |
5 |
Pentagon |
6 |
Zeshoek |
7 |
zevenhoek |
8 |
Achthoek |
9 |
Negenhoek |
10 |
tienhoek |
11 |
Undecagon |
12 |
Dodecagon |
15 |
vijfhoek |
20 |
Icosagon |
Merk op dat het niet nodig is om de tafel te versieren, maar om het te begrijpen. Met uitzondering van de driehoek en de vierhoek is de woordvorming:
Aantal zijden + gono
Als we bijvoorbeeld de veelhoek van hebben vijf kanten, onthoud automatisch het voorvoegsel penta plus het achtervoegsel gono: Pentagon.
Voorbeeld
Bepaal de naam van de volgende veelhoek:
polygoon classificatie
Veelhoeken worden geclassificeerd door maat van uw hoeken en zijkanten. Een veelhoek wordt gelijkzijdig genoemd als deze congruente zijden heeft, dat wil zeggen dat alle zijden gelijk zijn; en het wordt gelijkhoek genoemd als het congruente hoeken heeft, dat wil zeggen allemaal gelijke hoeken.
Als een veelhoek gelijkzijdig en gelijkhoek is, dan is het a regelmatige veelhoek.
In elke regelmatige veelhoek ligt het middelpunt op dezelfde afstand van de zijkanten, dat wil zeggen, het is op gelijke afstand van de zijkanten. Het middelpunt van de veelhoek is ook het middelpunt van de cirkel die is ingeschreven in de veelhoek, dat wil zeggen de omtrek wat "binnen" de omtrek is.
Lees verder: Veelhoekovereenkomst: kijk wat de voorwaarden zijn
Som van interne hoeken van een veelhoek
Wees deik een binnenhoek van een regelmatige n-zijdige veelhoek, zullen we de som van deze binnenhoeken weergeven met Sik.
De som van de interne hoeken wordt dus gegeven door:
zoik = (n - 2) · 180°
Om de waarde van elke binnenhoek te berekenen, neemt u gewoon de som van de binnenhoeken en deelt u deze door het aantal zijden, dat wil zeggen:
Deik = zoik
Nee
Voorbeeld 1
Bepaal de som van de binnenhoeken en vervolgens de maat van elke binnenhoek van een icosagon.
We weten dat een icosagon twintig zijden heeft, dus n = 20. Ter vervanging van de relaties hebben we:
zoik = (n - 2) · 180°
zoik = (20 - 2) · 180°
zoik = 18 · 180°
zoik = 3240°
Om nu de waarde van elke interne hoek te bepalen, deelt u de gevonden waarde door het aantal zijden:
Deik = 3240°
20
Deik = 162°
Voorbeeld 2
De som van de binnenhoeken van een regelmatige veelhoek is 720°, vind de veelhoek.
Als we de verklaringsinformatie in de formule vervangen, hebben we:
720° = (n - 2) · 180°
720° = 180n - 360°
180n = 720° + 360°
180n = 1080°
n = 1080°
180°
n = 6 zijden
De gewenste veelhoek is dus de zeshoek.
Som van buitenhoeken van een veelhoek
De som van de buitenhoeken van een veelhoek is altijd gelijk aan 360°.
zoen = 360°
Deen = zoen
Nee
Deen = 360°
Nee
Veelhoek diagonalen
Beschouw een n-zijdige veelhoek. Om het aantal diagonalen (d) te bepalen, gebruiken we de volgende relatie:
d = n · (n - 3)
2
Voorbeeld
Bepaal het aantal diagonalen in een vijfhoek en teken ze in een grafiek.
We weten dat een vijfhoek vijf zijden heeft, dus n = 5. Als we de uitdrukking vervangen, moeten we:
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
Oppervlakte en omtrek van veelhoeken
O omtrek van polygonen wordt gedefinieerd door de som van alle kanten. De oppervlakte van een veelhoek wordt berekend door de veelhoek op te delen in figuren waarmee de oppervlakte makkelijker te berekenen is, zoals de driehoek en het vierkant.
DEΔ = basis · hoogte
2
DEplein = basis · hoogte
Voorbeeld
Bepaal een wiskundige uitdrukking die de oppervlakte van een regelmatige zeshoek vertegenwoordigt.
Oplossing:
Beschouw in eerste instantie een regelmatige zeshoek en alle rechte lijnsegmenten die het midden van de veelhoek met elk hoekpunt verbinden. Dus:
Merk op dat, vanwege het feit dat de zeshoek regelmatig is, we bij het delen zes. vinden driehoeken gelijkzijdigen, dus de oppervlakte van de zeshoek is zes keer de oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek, dat wil zeggen:
DEzeshoek = 6 · AΔ
DEzeshoek = 6 · ik2 · √3
4
DEzeshoek = 3 · ik2 · √3
2
DEzeshoek = 3 · ik2·√3
2
Lees ook:gelijkzijdige driehoek gebied
Oefeningen opgelost
vraag 1 – (Enem) Een zwembad heeft de vorm van een regelmatige veelhoek waarvan de interne hoek drie en een half keer de externe hoek is. Wat is de som van de binnenhoeken van de veelhoek waarvan de vorm dezelfde is als deze poel?
a) 1800°
b) 1620e
c) 1440°
d) 1260°
e) 1080°
Oplossing
Aangezien we het aantal zijden van de veelhoek niet kennen, stellen we ons een van de hoekpunten van deze veelhoek voor.
Uit de afbeelding kunnen we zien dat:
Deik + deen = 180° (I)
Uit de verklaring hebben we dat:
Deik = 3,5 · aen (II)
Als we vergelijking (II) in vergelijking (I) vervangen, moeten we:
3.5 · aen + deen = 180°
4,5 · aen = 180°
Deen = 180°
4,5
Deen = 40°
We weten echter dat een binnenhoek de deling is van 360° door het aantal zijden van de veelhoek. Dus:
Deen = 360°
Nee
40° = 360°
Nee
40n = 360°
n = 360°
40°
n = 9
Daarom is de som van de interne hoeken van het zwembad:
zoik = (n - 2) · 180°
zoik = (9 - 2) · 180°
zoik = 7 · 180°
zoik = 1260°
door Robson Luiz
Wiskundeleraar