U natuurlijke cijfers waren de eerste numerieke set waarmee historisch rekening werd gehouden. Ze kwamen uit de moet tellen van de mens. De verzameling natuurlijke getallen heeft als elementen de positieve getallen en gehele getallen, zoals 1, 2, 3, 4, …. Deze set heeft de optelbewerkingen, aftrekken, vermenigvuldiging, deling, potentiëring en bestraling.
Wat zijn natuurlijke getallen?
natuurlijke getallen zijn getallen strikt positief die geen komma hebben, dat wil zeggen, ze vertegenwoordigen hoeveelheden heel. De verzameling natuurlijke getallen kan als volgt worden weergegeven:
De verzameling natuurlijke getallen is a oneindige reeks, dat wil zeggen, gegeven elk natuurlijk getal, is er ten minste één groter dan het. Bekijk enkele voorbeelden van elementen die wel en niet bij deze set horen.
Uit het bovenstaande voorbeeld hebben we dat de getallen 10, 2 en 100 tot de natuurlijke verzameling behoren en de getallen 1.65, –2 en 0 niet tot de natuurlijke verzameling.
Lees ook: Leuke weetjes over het delen van natuurlijke getallen
Opvolger van een natuurlijk getal
Zoals we hierboven zeiden, is de verzameling natuurlijke getallen een oneindige verzameling, dat wil zeggen, gegeven een willekeurig getal Nee natuurlijk, er is altijd n+1, ook natuurlijk. Het nummer n+1 heet de opvolger van zn. Om de opvolger van een natuurlijk getal te bepalen, hoeft u alleen maar toevoegen 1 voor dat nummer. Laten we als voorbeeld de opvolgers van de nummers 3, 1, 5 en 2p + 1 bepalen.
De opvolger van het cijfer 3 wordt gegeven door 3+1, dat wil zeggen het cijfer 4. Evenzo zijn de opvolgers van 1 en 5 respectievelijk 2 en 6. Laten we, volgens de definitie van opvolger, aannemen dat de opvolger van 2p + 1 2p + 1 + 1 is, dat wil zeggen 2p + 2.
Met de definitie van opvolger wordt het idee dat de verzameling natuurlijke getallen oneindig is duidelijker, omdat het altijd mogelijk is om een opvolger van een natuurlijk getal te vinden.
Voorouder van een natuurlijk getal
De voorloper van een natuurlijk getal Nee is degene die aan dit nummer voorafgaat Nee. We kunnen de. schrijven voorloper van Nee Leuk vinden n - 1. Laten we als voorbeeld de voorlopers van de getallen 2, 5, 1000 en 2p + 1 bepalen.
De voorloper van 2 wordt gegeven door 2 - 1, dus het is het getal 1. Evenzo zijn de voorgangers van 5 en 1000 respectievelijk de nummers 4 en 999. De voorloper van het getal 2p + 1 is 2p + 1 – 1, dat wil zeggen, de voorloper van 2p +1 is het getal 2p.
Het is belangrijk om te zeggen dat niet elk natuurlijk getal heeft een voorganger, is het geval van nummer 1. Als we de definitie van voorouder toepassen, zien we dat de voorloper van het getal 1 1 - 1 = 0 is, maar het nummer nul hoort niet bij natuurlijke getallen. Daarom heeft elk natuurlijk getal een voorganger, met uitzondering van nummer 1. Om deze reden wordt het getal 1 het minimumelement van de naturals genoemd, dat wil zeggen, het is het kleinste natuurlijke getal. We kunnen deze informatie als volgt schrijven:
Subset van natuurlijke getallen
We weten dat de verzameling natuurlijke getallen bestaat uit strikt positieve getallen, dat wil zeggen getallen groter dan nul. Vanuit de theorie van sets, we hebben dat, gegeven de verzamelingen A en B, we zeggen dat B is een deelverzameling van A als elk element van B een element is van A, dat wil zeggen, B is vervat in A (B ⸦ A).
Elke verzameling gevormd door natuurlijke getallen is dus een subset van de natuurlijke getallen. Zie enkele voorbeelden:
Denk aan de sets:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
De verzamelingen A, B en C zijn onderverzamelingen van de natuurlijke getallen, aangezien alle elementen van deze verzamelingen ook elementen zijn van de natuurlijke, dat wil zeggen, we kunnen zeggen dat:
Kijk nu naar set D. Merk op dat in deze verzameling niet elk element tot de verzameling natuurlijke getallen behoort. Dit is het geval bij het getal 0. Daarom, D het is geen subset van natuurlijke getallen, dat wil zeggen, D zit niet in de verzameling natuurlijke getallen. We duiden dit feit als volgt aan:
Lees ook: Priemgetallen: wat zijn het en hoe vind je ze?
zelfs natuurlijke getallen
We zeggen dat een getal even is als het een veelvoud is van het getal 2, wat overeenkomt met te zeggen dat dit getal deelbaar is door 2. Kijken:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Omdat de verzameling natuurlijke getallen een oneindige verzameling is, is de verzameling even getallen dat ook. Merk ook op dat elk element van de verzameling even getallen ook een element is van de natuurlijke getallen en dus de verzameling van even getallen is een subset van de naturals..
Zie dat:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
De reeks even getallen kan worden verkregen door alle natuurlijke getallen te vermenigvuldigen met het getal 2. Dus rekening houdend met een natuurlijk getal Nee, we kunnen een even getal schrijven met de uitdrukking 2n, dus de verzameling even getallen kan in het algemeen worden geschreven door:
Laten we als voorbeeld eens kijken of de getallen 1000, 2098 en 55 even zijn.
Aangezien 1000 = 2 · 500 en 2098 = 2 · 1049, zijn ze even omdat er een natuurlijk getal is dat ze, vermenigvuldigd met 2, geeft. Nu is 55 niet even, want er is geen natuurlijk getal dat, vermenigvuldigd met 2, 55 oplevert. Kijken:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Zoals we weten, is er geen natuurlijk getal tussen 27 en 28, dus 55 is niet even.
Oneven natuurlijke getallen
Een getal is oneven als het niet even is, dat wil zeggen als het niet meervoudig of deelbaar is door 2. Dus de set van oneven natuurlijke getallen zijn natuurlijke getallen die geen veelvouden zijn van 2. Deze set kan als volgt worden geschreven:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
Analoog aan wat we deden in de set van even getallen, hebben we:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
De reeks oneven getallen kan worden verkregen door te vermenigvuldigen alle natuurlijke getallen door 2 en 1. optellen. rekening houdend met een natuurlijk getal Nee any, we kunnen elk oneven getal schrijven met de uitdrukking 2n + 1. Over het algemeen stellen we de verzameling oneven getallen voor door:
Merk op dat de verzameling oneven getallen ook een oneindige verzameling is, aangezien we om de oneven getallen te krijgen de natuurlijke getallen met 2 vermenigvuldigen en dan 1 optellen. Om deze reden is de set van oneven getallen is ook een subset van naturals., want elk element van deze set is ook een element van de natuurlijke.
Zie ook: Even en oneven nummer eigenschappen
opgeloste oefeningen
vraag 1 – Noem alleen de natuurlijke getallen van de onderstaande getallen:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 en 98.765
Oplossing
We weten dat de verzameling natuurlijke getallen bestaat uit strikt positieve getallen zonder komma, dus de natuurlijke getallen in de lijst zijn: 1, 2 en 98.765.
vraag 2 – Is het, gezien de algemene vorm van een even getal, waar dat, als je twee even getallen optelt, het resultaat nog steeds even is? Geldt hetzelfde voor oneven nummers?
Oplossing
We weten dat een even getal in het algemeen kan worden geschreven door een natuurlijk getal met 2 te vermenigvuldigen. Beschouw twee verschillende natuurlijke getallen, 2n en 2m, waarbij m en Nee alle natuurlijke getallen, wordt de som van de twee bepaald door:
2n + 2m
Als we het nummer 2 als bewijs gebruiken, hebben we:
2 ·(n+m)
Leuk vinden Nee en m zijn twee natuurlijke getallen, hun som is ook, dus n + m = k, waarbij k een natuurlijk getal.
2 ·(n+m)
2 · k
Daarom is de som van twee even natuurlijke getallen ook een even getal, omdat de som resulteerde in een veelvoud van 2.
Nu weten we dat een oneven getal wordt gegeven door een natuurlijk getal te vermenigvuldigen met 2 opgeteld bij het getal 1. Beschouw nu twee verschillende oneven getallen, 2n +1 en 2m + 1, met m en Nee natuurlijk. Als we deze getallen bij elkaar optellen, hebben we:
2n+1 + 2m +1
2n + 2m +2
Wederom met het cijfer 2 als bewijs, hebben we:
2 (n+m+1)
Merk op dat n + m + 1 een natuurlijk getal is en dat we het kunnen voorstellen door p, dat wil zeggen, n + m + 1 = p, spoedig:
2 ·(n+m+1)
2 · P
Merk op dat het resultaat van het optellen van twee oneven getallen resulteerde in een veelvoud van 2, dat wil zeggen even. Daarom is de som van twee oneven getallen een even getal.
Vraag 3 - (Inschrijving / Voorkeur. van Itaboraí) Het quotiënt tussen twee natuurlijke getallen is 10. Door het deeltal met 5 te vermenigvuldigen en de deler met de helft te verminderen, wordt het quotiënt van de nieuwe deling:
a) 2
b) 5
c) 25
d) 50
e) 100
Oplossing
Volgens de verklaring is het quotiënt (deel) tussen twee natuurlijke getallen 10. Omdat we nog steeds niet weten wat deze nummers zijn, laten we ze een naam geven m en Nee, dan:
Als we nu het deeltal met 5 vermenigvuldigen en de deler met de helft verminderen, hebben we:
Het uitvoeren van de breukdeling en het vervangen van de waarde van m, we zullen hebben:
Antwoord: alternatief e.
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm