Naar de operaties met sets ze zijn vereniging, kruispunt en verschil. Het resultaat van elk van deze bewerkingen is een nieuwe set. Om de vereniging tussen verzamelingen aan te geven, gebruiken we het symbool ∪; voor het snijpunt, het symbool ∩; en voor het verschil, het symbool van aftrekken\(-\). Bij een verschil is het essentieel om de volgorde waarin de handeling wordt uitgevoerd in acht te nemen. Met andere woorden: als A en B verzamelingen zijn, dan is het verschil tussen A en B anders dan het verschil tussen B en A.
Lees ook: Venn-diagram - geometrische weergave van sets en bewerkingen daartussen
Samenvatting van bewerkingen met sets
Bewerkingen met verzamelingen zijn: unie, snijpunt en verschil.
De vereniging (of bijeenkomst) van verzamelingen A en B is de verzameling A ∪ B, gevormd door de elementen die tot A behoren of tot B behoren.
\(A∪B=\{x; x∈A\ of\ x∈B\}\)
Het snijpunt van verzamelingen A en B is de verzameling A ∩ B, gevormd door de elementen die bij A horen en bij B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ en\ x∈B\}\)
Het verschil tussen verzamelingen A en B is de verzameling A – B, gevormd door de elementen die tot A behoren en niet tot B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Als U (bekend als de heelalverzameling) een verzameling is die alle verzamelingen in een gegeven context bevat, dan wordt het verschil U – A, met A ⊂ U, het complement van A genoemd. Het complement van A wordt gevormd door elementen die niet tot A behoren en wordt vertegenwoordigd door Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Videoles over operaties met sets
Wat zijn de drie bewerkingen met verzamelingen?
De drie operaties met setjes zijn: unie, intersectie en verschil.
Unie van sets
De vereniging (of bijeenkomst) van verzamelingen A en B is de verzameling A ∪ B (lees “De vereniging B”). Deze set bestaat uit alle elementen die bij set A horen of behoren tot verzameling B, dat wil zeggen de elementen die tot ten minste één van de sets behoren.
We stellen de elementen van A ∪ B voor x voor en schrijven
\(A∪B=\{x; x∈A\ of\ x∈B\}\)
In de onderstaande afbeelding is het oranje gebied de set A ∪B.
Het lijkt moeilijk? Laten we twee voorbeelden bekijken!
Voorbeeld 1:
Wat is de verzameling A ∪ B, als A = {7, 8} en B = {12, 15}?
De verzameling A ∪ B wordt gevormd door de elementen die bij A horen of behoren tot B. Omdat de elementen 7 en 8 tot de verzameling A behoren, moeten ze allebei tot de verzameling A ∪ B behoren. Bovendien, aangezien elementen 12 en 15 tot de verzameling B behoren, moeten beide tot de verzameling A ∪ B behoren.
Daarom,
EEN ∪ B={7, 8, 12, 15}
Merk op dat elk van de elementen van A∪B tot set A of set B behoort.
Voorbeeld 2:
Beschouw de verzamelingen A = {2, 5, 9} en B = {1, 9}. Wat is de verzameling A ∪ B?
Omdat de elementen 2, 5 en 9 tot de verzameling A behoren, moeten ze allemaal tot de verzameling A∪B behoren. Bovendien, aangezien elementen 1 en 9 tot de verzameling B behoren, moeten ze allemaal tot de verzameling A ∪ B behoren.
Merk op dat we 9 twee keer hebben genoemd, omdat dit element tot set A en set B behoort. Zeggen dat “de verzameling A ∪ B wordt gevormd door de elementen die tot A behoren of behoren tot B” sluit elementen niet uit die tegelijkertijd tot verzamelingen A en B behoren.
In dit voorbeeld hebben we dus
EEN ∪ B={1, 2, 5, 9}
Merk op dat we element 9 slechts één keer schrijven.
Snijpunt van sets
Het snijpunt van verzamelingen A en B is de verzameling A ∩ B (lees “Het snijpunt B”). Deze set bestaat uit alle elementen die bij set A horen Het is behoren tot set B. Met andere woorden, A ∩ B is samengesteld uit de gemeenschappelijke elementen van sets A en B.
We geven de elementen van A ∩ B aan met x en schrijven
\(A∩B=\{x; x∈A\ en\ x∈B\}\)
In de onderstaande afbeelding is het oranje gebied de set A ∩B.
Laten we twee voorbeelden over het snijpunt van verzamelingen oplossen!
Voorbeeld 1:
Beschouw A = {-1, 6, 13} en B = {0, 1, 6, 13}. Wat is de verzameling A ∩ B?
De verzameling A ∩ B wordt gevormd door alle elementen die tot de verzameling A behoren Het is behoren tot set B. Merk op dat elementen 6 en 13 gelijktijdig tot sets A en B behoren.
Soortgelijk,
EEN ∩ B={6, 13}
Voorbeeld 2:
Wat is het snijpunt tussen de verzamelingen A = {0,4} en \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Merk op dat er geen gemeenschappelijk element is tussen de sets A en B. Het snijpunt is dus een verzameling zonder elementen, dat wil zeggen een lege verzameling.
Daarom,
\(\)EEN ∩ B={ } = ∅
Verschil tussen sets
Het verschil tussen set A en B is de set A – B (lees “verschil tussen A en B”). Deze set bestaat uit alle elementen die tot set A behoren en niet tot set B.
We beschrijven de elementen van A – B met x en schrijven
\(A-B=\{x; x∈A\ en\ x∉B\}\)
In de onderstaande afbeelding is het oranje gebied de setA – B.
Aandacht: het verschil tussen sets A en B is niet het verschil tussen sets B en A, omdat B – A wordt gevormd door alle elementen die tot set B behoren en niet tot set A.
Beschouw de twee onderstaande voorbeelden over de verschillen tussen sets.
Voorbeeld 1:
Als A = {-7, 2, 100} en B = {2, 50}, wat is dan de verzameling A – B? Hoe zit het met de set B – A?
De setA-B bestaat uit alle elementen die tot de verzameling A behoren Het isNee behoren tot set B. Merk op dat 2 het enige element in set A is dat ook tot set B behoort. 2 behoort dus niet tot de verzameling A – B.
Daarom,
A – B = {-7, 100}
Verder wordt de verzameling B – A gevormd door alle elementen die tot de verzameling B behoren Het isNee behoren tot set A. Daarom,
B – EEN = {50}
Voorbeeld 2:
Wat is het verschil tussen de verzameling A = {–4, 0} en de verzameling B = {–3}?
Merk op dat geen van de elementen van A tot B behoort. Het verschil A – B is dus de verzameling A zelf.
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
Observatie: Bedenk dat U (de universumset genoemd) een set is die alle andere sets in een bepaalde situatie bevat. Soortgelijk, het verschil U-A, met A⊂U, is een verzameling die complementair aan A wordt genoemd en afgebeeld als \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
In de volgende afbeelding is de rechthoek de universe-set en het oranje gebied de universe-set \(B.C\).
Meer weten: Stap voor stap hoe je een deling doet
Opgeloste oefeningen over vaste operaties
Vraag 1
Beschouw de verzamelingen A = {–12, –5, 3} en B = {–10, 0, 3, 7} en classificeer elke bewering hieronder als T (waar) of F (onwaar).
I. EEN ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. EEN ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
De juiste volgorde, van boven naar beneden, is
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Oplossing
I. Vals.
Element 0 moet tot de vereniging van A en B behoren, aangezien 0 ∈ B. Dus A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. WAAR.
III. WAAR.
Alternatief B.
vraag 2
Beschouw A = {4, 5}, B = {6,7} en C = {7,8}. Dan is de verzameling A ∪ B ∩ C
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Oplossing
Merk op dat A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Daarom is de verzameling A ∪ B ∩ C het snijpunt tussen A ∪ B = {4, 5, 6, 7} en C = {7,8}. Spoedig,
EEN ∪ B ∩ C = {7}
Alternatief A.
Bronnen
LIMA, Elon L.. Analyse cursus. 7 uitg. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Wiskunde op de middelbare school. 11. red. Wiskundeleraarcollectie. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
