A rooten Het is een wiskundige bewerking, net als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en potentiëren. Op dezelfde manier dat aftrekken de omgekeerde werking is van optellen en delen het omgekeerde is van vermenigvuldigen, is straling de omgekeerde werking van potentiëring. Dus voor reëel positief x en y en geheel getal n (groter dan of gelijk aan 2), kunnen we, als x verheven tot n gelijk is aan y, zeggen dat de n-de wortel van y gelijk is aan x. In wiskundige notatie: \(x^n=y\Pijl naar rechts\sqrt[n]{y}=x\).
Lees ook:Potentiëring en straling van breuken: hoe doe je dat?
Samenvatting over rooten
Rootificatie is een wiskundige bewerking.
Radiciatie en potentiëring zijn omgekeerde bewerkingen, dat wil zeggen voor positieve x en y: \(x^n=y\Pijl naar rechts\sqrt[n]{y}=x\).
Het berekenen van de n-de wortel van een getal y betekent het vinden van het getal x zodat x verheven tot n gelijk is aan y.
Het lezen van een wortel is afhankelijk van index n. Als n = 2 noemen we dit de vierkantswortel, en als n = 3 noemen we dit de derdemachtswortel.
Bij operaties met radicalen gebruiken we termen met dezelfde index.
Straling heeft belangrijke eigenschappen die de berekening ervan vergemakkelijken.
Videoles over rooten
Weergave van een wortel
Om een worteling weer te geven, we moeten de drie betrokken elementen in overweging nemen: wortel, index en wortel. Het symbool \(√\) wordt een radicaal genoemd.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
In dit voorbeeld y is de wortel, n is de index en x is de wortel. Er staat “n-de wortel van y is x”. Terwijl x en y positieve reële getallen vertegenwoordigen, vertegenwoordigt n een geheel getal gelijk aan of groter dan 2. Het is belangrijk op te merken dat voor n = 2 de index kan worden weggelaten. Dus bijvoorbeeld \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
We kunnen een radiciatie weergeven met behulp van de radicand met een fractionele exponent. Formeel zeggen we dat de n-de wortel van \(y^m\) kan worden geschreven als y verheven tot de fractionele exponent \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Zie de voorbeelden:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Verschillen tussen straling en potentiëring
Potentiatie en straling zijn inverse wiskundige bewerkingen. Dit betekent dat als \(x^n=y\), Dan \(\sqrt[n]{y}=x\). Het lijkt moeilijk? Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden.
Als \(3^2=9\), Dan \(\sqrt[2]{9}=3\).
Als \(2^3=8\), Dan \(\sqrt[3]{8}=2\).
Als \(5^4=625\), Dan \(\sqrt[4]{625}=5\).
Hoe lees je een wortel?
Om een wortel te lezen, we moeten rekening houden met de index N. Als n = 2, we noemen dit de vierkantswortel. Als n = 3, noemen we dit de derdemachtswortel. Voor waarden van N groter, gebruiken we de nomenclatuur voor rangtelwoorden: vierde wortel (als n = 4), vijfde wortel (als n = 5) enzovoort. Bekijk enkele voorbeelden:
\(\sqrt[2]{9}\) – wortel uit 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – derdemachtswortel van 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – vierde wortel van 625.
Hoe bereken je de wortel van een getal?
We zullen hieronder zien hoe je de wortel van een positief reëel getal kunt berekenen. Om de wortel van een getal te berekenen, moeten we de gerelateerde inverse bewerking overwegen. Dat wil zeggen, als we zoeken naar de n-de wortel van een getal y, moeten we zoeken naar een getal x zodanig dat \(x^n=y\).
Afhankelijk van de waarde van y (dat wil zeggen de wortel), kan dit proces eenvoudig of moeizaam zijn. Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden van hoe je de wortel van een getal kunt berekenen.
Voorbeeld 1:
Wat is de wortel van 144?
Oplossing:
Laten we het nummer bellen dat we zoeken x, dat wil zeggen: \(\sqrt{144}=x\). Merk op dat dit betekent dat je moet zoeken naar een getal x zodanig dat \(x^2=144\). Laten we enkele mogelijkheden met natuurlijke getallen testen:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Daarom, \(\sqrt{144}=12\).
Voorbeeld 2:
Wat is de derdemachtswortel van 100?
Oplossing:
Laten we het nummer bellen dat we zoeken x, dat wil zeggen: \(\sqrt[3]{100}=x\). Dit betekent dat \(x^3=100\). Laten we enkele mogelijkheden testen:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Merk op dat we op zoek zijn naar een getal dat tussen 4 en 5 ligt, zoals \(4^3=64\) Het is \(5^3=125\). Laten we dus enkele mogelijkheden testen met getallen tussen 4 en 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Als \(4,6^3 \) Als een getal dichtbij en kleiner dan 100 is, kunnen we zeggen dat 4,6 een benadering is van de derdemachtswortel van 100. Daarom, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Belangrijk:Als de wortel een rationaal getal is, zeggen we dat de wortel exact is; anders is de wortel niet exact. In het bovenstaande voorbeeld bepalen we een bereik tussen exacte wortels waar de gezochte wortel wordt gevonden:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Deze strategie is erg handig voor het berekenen van benaderingen van een wortel.
Operaties met radicalen
Bij operaties met radicalen gebruiken we termen met dezelfde index. Lees daarom de volgende informatie zorgvuldig door.
→ Optellen en aftrekken tussen radicalen
Om een optelling of aftrekking tussen radicalen op te lossen, moeten we de wortel van elk radicaal afzonderlijk berekenen.
Voorbeelden:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Belangrijk: Het is niet mogelijk om radicalen te gebruiken tijdens optel- en aftrekkingsbewerkingen. Houd er rekening mee dat bijvoorbeeld de bediening \(\sqrt4+\sqrt9\) resulteert in een ander aantal \(\sqrt{13}\), zelfs als \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Vermenigvuldiging en deling tussen radicalen
Om een vermenigvuldiging of deling tussen radicalen op te lossen, kunnen we de wortel van elk radicaal afzonderlijk berekenen, maar we kunnen ook de stralingseigenschappen gebruiken, die we hieronder zullen zien.
Voorbeelden:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Wat zijn de eigenschappen van straling?
→ Eigenschap 1 van straling
Als y een positief getal is, dan is de nde wortel van \(y^n\) is gelijk aan y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Zie het voorbeeld:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Deze eigenschap wordt veel gebruikt om uitdrukkingen met radicalen te vereenvoudigen.
→ Eigenschap 2 van straling
De n-de wortel van het product \(y⋅z\) is gelijk aan het product van de nde wortels van y en z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Zie het voorbeeld:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Belangrijk: Wanneer we de wortel van een groot getal berekenen, is dit erg handig ontbind (ontbind) de wortel in priemgetallen en pas eigenschappen 1 en 2 toe. Zie het volgende voorbeeld waarin we willen berekenen \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Soortgelijk,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Eigenschap 3van rooten
De n-de wortel van het quotiënt \(\frac{y}z\), met \(z≠0\), is gelijk aan het quotiënt van de nde wortels van y en z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Zie het voorbeeld:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Eigenschap 4 van straling
De n-de wortel van y verheven tot een exponent m is gelijk aan de n-de wortel van \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Zie het voorbeeld:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Zie ook: Wat zijn de eigenschappen van potentiëring?
Opgeloste oefeningen over straling
Vraag 1
(FGV) Vereenvoudigen \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), Jij krijgt:
EEN) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Oplossing:
Alternatief C.
Merk op dat we met behulp van de stralingseigenschappen dat hebben
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
We kunnen de uitdrukking van de verklaring dus herschrijven als
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Het stellen van de term \(\sqrt3\) bewijsmateriaal, concluderen wij
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
vraag 2
(Cefet) Met welk getal moeten we het getal 0,75 vermenigvuldigen zodat de wortel van het verkregen product gelijk is aan 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Oplossing:
Alternatief A.
Het gezochte getal is x. Volgens de verklaring is dus
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Daarom,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)