O afgeknot kegelvolume is de ruimte die wordt ingenomen door dit ronde lichaam. Omdat de dwarsdoorsnede van een kegel met straal R een kleinere kegel met straal produceert R en een afgeknotte kegel, zijn de volumes van deze drie vaste stoffen aan elkaar gerelateerd.
Lees ook: Hoe de stam van een piramide te berekenen
Samenvatting over het volume van de afgeknotte kegel
- Een kegel met straal R snijdt dwars op een hoogte H van het basisvlak is verdeeld in twee geometrische lichamen: een kegel met straal R Het is een stamkegel.
- De belangrijkste elementen van de afgeknotte kegel zijn de hoogte H, de kleinste straalbasis R en grotere basis met straal R.
- Het volume van de afgeknotte kegel is het verschil tussen het volume van de kegel met straal R en het volume van de kegel met straal R.
- De formule voor het volume van de afgeknotte kegel is:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Videoles over het volume van de afgeknotte kegel
Wat zijn de elementen van de afgeknotte kegel?
De elementen van een afgeknotte kegel gevormd uit de doorsnede van een rechte kegel met straal R zijn:
- kleine basis - straal cirkel R, verkregen in de doorsnede van de kegel met straal R .
- grotere basis – cirkelvormige basis van de kegel met straal R .
- Hoogte (h) - afstand tussen de vlakken van de bases.
- Generatrix – segment met uiteinden op de omtrek die de bases afbakenen.
A onderstaande afbeelding toont de elementen van een afgeknotte kegel. Merk op dat de kleine en grote basen evenwijdig zijn.
Trunk of Cone Volume Formule
Laten we vervolgens de formule afleiden voor het volume van een afgeknotte hoogte H, kleinere basisstraal R en straal van de grootste basis R .
Bedenk dat de doorsnede van een kegel met straal R en hoogte H1 produceert twee vaste stoffen:
- een bliksemschicht R en hoogte H2 Het is
- een hoge stamkegel H .
realiseer dat \(H_1=H_2+h\).
Het volume van de kegel met straal R (die we de grotere kegel zullen noemen) wordt weergegeven door VR; het volume van de radiuskegel R (die we de kleinere kegel zullen noemen), door Vr; en het volume van de afgeknotte kegel door Vt. Daarom:
\(V_R=V_r+V_t\)
Let daar op:
- \( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Observatie: VR en Vr zijn kegelvolumes. Klik op om deze kwestie te bekijken hier.
Soortgelijk:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
De H2-term komt overeen met de hoogte van de kleinere kegel. Door de hoogten van de kegels te relateren aan de respectieve stralen van de basissen, kunnen we een formule verkrijgen voor het volume van de romp die alleen afhangt van de elementen van de romp (R, R Het is H).
Associatie van de straal en hoogte van de grotere kegel (R en H1 ) met de straal en hoogte van de kleinere kegel (R en H2), hebben we de volgende verhouding:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Spoedig, we kunnen het trunkvolume herschrijven VT als volgt:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Soortgelijk, De formule voor het volume van de afgeknotte kegel is:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Lees ook: Volumeformules van verschillende geometrische vaste lichamen
Hoe bereken je het volume van de afgeknotte kegel?
Om het volume van een afgeknotte kegel te berekenen, vervang gewoon de afmetingen van de hoogte, de straal van de kleinere basis en de straal van de grotere basis in de formule.
- Voorbeeld: Wat is het volume, in kubieke centimeters, van een afgeknotte kegel waarvan de straal van de grotere basis R is = 5 cm, de straal van de kleinere basis is r = 3 en de hoogte is h = 2cm? (Gebruik π=3 )
Als we de gegevens in de formule vervangen, hebben we:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Opgelost oefeningen op het volume van de afgeknotte kegel
vraag 1
Een pot heeft de vorm van een afgeknotte kegel met de grootste basisstraal R = 8 cm, de kleinste basisstraal r = 4 en de hoogte h = 2 cm. De inhoud van deze pot, in cm³, is:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pi
e) 1344pi
Oplossing
Als we de gegevens in de formule vervangen, hebben we:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternatief D
vraag 2
(Enem 2021) Eén persoon kocht een mok om soep te drinken, zoals afgebeeld.
Het is bekend dat 1 cm³ = 1 ml en dat de bovenkant van de mok een cirkel is met een diameter (D) van 10 cm, en de basis een cirkel met een diameter (d) van 8 cm.
Verder is bekend dat de hoogte (h) van deze mok 12 cm is (afstand tussen het middelpunt van de bovenste en onderste cirkels).
Gebruik 3 als benadering voor π.
Wat is de inhoud in milliliter van deze mok?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Oplossing
De vorm van de mok is een afgeknotte kegel waarbij de bovenkant de grotere basis is. Ook R=5, R = 4cm en H = 12. Spoedig:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Als 1 cm³ = 1 ml, hebben we 732 cm³ = 732 ml.
Alternatief C
bronnen:
DANTE, L. R. Wiskunde: context & toepassingen - Middelbare school. 3. red. São Paulo: Attica, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. Nee. Grondbeginselen van elementaire wiskunde, Vol 10: Ruimtelijke Meetkunde - Positie en Metriek. 7 uitg. Santos: Huidig, 2013.
Bron: Braziliaanse school - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
