A identiteitsmatrix is een speciaal soort hoofdkwartier. We kennen als identiteitsmatrix IN de vierkante matrix van orde n waarvan alle termen op de diagonaal gelijk zijn aan 1 en termen die niet tot de hoofddiagonaal behoren gelijk zijn aan 0. De identiteitsmatrix wordt beschouwd als het neutrale element van vermenigvuldiging, dat wil zeggen als we een matrix vermenigvuldigen M door de identiteitsmatrix vinden we als resultaat de matrix zelf M.
Zie ook: Wat is de determinant van een matrix?
Samenvatting over identiteitsmatrix
De identiteitsmatrix is de vierkante matrix met elementen op de hoofddiagonaal gelijk aan 1 en met de overige elementen gelijk aan 0.
Er zijn identiteitsmatrices van verschillende ordes. Wij vertegenwoordigen de identiteitsmatrix van orde N door ik N.
De identiteitsmatrix is het neutrale element van matrixvermenigvuldiging, dat wil zeggen \( A\cdot I_n=A.\)
Het product van een vierkante matrix en zijn inverse matrix is de identiteitsmatrix.
Wat is identiteitsmatrix?
De identiteitsmatrix is een speciaal type vierkante matrix. Een vierkante matrix staat bekend als een identiteitsmatrix als alle elementen op de hoofddiagonaal gelijk zijn aan 1 en alle andere elementen gelijk zijn aan 0. Dan, in elke identiteitsmatrix:
➝ Typen identiteitsmatrix
Er zijn identiteitsmatrices van verschillende ordes. de bestelling N wordt vertegenwoordigd door IN. Laten we hieronder enkele matrices van andere ordes bekijken.
Bestel 1 identiteitsmatrix:
\(I_1=\links[1\rechts]\)
Bestel 2 identiteitsmatrix:
\(I_2=\links[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Bestel 3 identiteitsmatrix:
\(I_3=\links[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Bestel 4 identiteitsmatrix:
\(I_4=\links[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Bestel 5 identiteitsmatrix:
\(I_5=\links[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Achtereenvolgens kunnen we identiteitsmatrices van verschillende ordes schrijven.
Identiteitsmatrix eigenschappen
De identiteitsmatrix heeft een belangrijke eigenschap, aangezien het het neutrale element is van de vermenigvuldiging tussen de matrices. Dit betekent dat elke matrix vermenigvuldigd met de identiteitsmatrix is gelijk aan zichzelf. Dus gegeven de matrix M van orde N,we hebben:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Een andere belangrijke eigenschap van de identiteitsmatrix is dat de product van een vierkante matrix en zijn omgekeerde matrix is de identiteitsmatrix. Gegeven een vierkante matrix M van orde N, wordt het product van M door zijn inverse gegeven door:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Lees ook: Wat is een driehoeksmatrix?
Vermenigvuldiging van de identiteitsmatrix
Wanneer we een matrix M vermenigvuldigen met de identiteitsmatrix van orde N, krijgen we de matrix M als resultaat. Laten we hieronder een voorbeeld bekijken van het product van de matrix M van orde 2 door de identiteitsmatrix van orde 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) Het is \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Stel dat:
\(A\cdot I_n=B\)
We hebben:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Dus het product van A door \(In\) het zal zijn:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Merk op dat de termen van matrix B identiek zijn aan de termen van matrix A, dat wil zeggen:
\(A\cdot I_n=\links[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Voorbeeld:
Wezen M De matrijs \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), bereken het product tussen de matrix M en de matrijs \(I_3\).
Oplossing:
Als we de vermenigvuldiging uitvoeren, hebben we:
\(M\cdot I_3=\links[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\links[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\einde{matrix}\rechts]\)
\(M\cdot I_3=\links[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\links(-2\rechts)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\links(-2\rechts)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\links(-2\rechts)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrix}\rechts]\)
\(M\cdot I_3=\links[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Opgeloste oefeningen over identiteitsmatrix
vraag 1
Er is een vierkante matrix van orde 3 die wordt gedefinieerd door \(a_{ij}=1 \) wanneer \(i=j\) Het is \(a_{ij}=0\) Het is wanneer \(i\ neq j\). Deze matrix is als volgt:
A) \( \links[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \links[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \links[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \links[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
EN) \( \links[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Oplossing:
Alternatief D
Als we de matrix analyseren, hebben we:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
De matrix is dus gelijk aan:
\(\links[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
vraag 2
(UEMG) Als de inverse matrix van \(A=\links[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \links[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), de waarde van x is:
EEN) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Oplossing:
Alternatief A
Door de matrices te vermenigvuldigen, realiseren we ons dat hun product gelijk is aan de identiteitsmatrix. Als we het product van de tweede rij van de matrix berekenen door de eerste kolom van zijn inverse, hebben we:
\(3\cdot5+x\cdot\links(-3\rechts)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Door Raúl Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Braziliaanse school - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm