Bij het oplossen van de 2e graads vergelijking x2 – 6x + 9 = 0, we vinden twee wortels gelijk aan 3. Met behulp van de decompositiestelling ontbinden we de veelterm en verkrijgen we:
X2 – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)2
In dit geval zeggen we dat 3 de wortel is van multipliciteit 2 of dubbele wortel van de vergelijking.
Dus, als een factored polynoom resulteert in de volgende uitdrukking:
We kunnen stellen dat:
x = -5 is wortel met multipliciteit 3 of drievoudige wortel van de vergelijking p (x) = 0
x = -4 is wortel met multipliciteit 2 of dubbele wortel van de vergelijking p (x) = 0
x = 2 is wortel met veelvoud 1 of eenvoudige wortel van de vergelijking p (x) = 0
In het algemeen zeggen we dat r een wortel is van veelvoud n, met n 1, van de vergelijking p (x) = 0, als:
Merk op dat p(x) deelbaar is door (x – r)m en dat de voorwaarde q(r) ≠ 0 betekent dat r geen wortel is van q(x) en garandeert dat de veelvoud van de wortel r niet groter is dan m.
Voorbeeld 1. Los de x-vergelijking op4 – 9x
Oplossing: Beschouw p(x) als de gegeven polynoom. Dus:
Merk op dat q(x) wordt verkregen door p(x) te delen door (x – 3)2.
Door te delen door het praktische apparaat van Briot-Ruffini, krijgen we:
Na het uitvoeren van de deling zien we dat de coëfficiënten van de polynoom q(x) 1, -3 en -4 zijn. Dus q (x) = 0 wordt: x2 – 3x – 4 = 0
Laten we de bovenstaande vergelijking oplossen om de andere wortels te bepalen.
X2 – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 of x = 4
Daarom, S = {-1, 3, 4}
Voorbeeld 2. Schrijf een algebraïsche vergelijking van minimale graad zodat 2 een dubbele wortel is en – 1 een enkele wortel is.
Oplossing: we moeten:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
Of
Door Marcelo Rigonatto
Specialist in statistiek en wiskundige modellering
Brazilië School Team
Veeltermen - Wiskunde - Brazilië School
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm