Determinanten: hoe te berekenen, eigenschappen, voorbeelden

O bepalend van een hoofdkwartier heeft momenteel verschillende toepassingen. We gebruiken de determinant om te controleren of drie punten zijn uitgelijnd in het Cartesiaanse vlak, om oppervlakten van driehoeken berekenen, onder andere voor het oplossen van lineaire systemen wiskunde. De studie van determinanten niet beperkt tot wiskunde, zijn er enkele toepassingen in de natuurkunde, zoals de studie van elektrische velden.

We berekenen alleen determinanten van vierkante matrices., dat wil zeggen matrices waarin het aantal kolommen en het aantal rijen gelijk zijn. Om de determinant van een matrix te berekenen, moeten we de volgorde ervan analyseren, dat wil zeggen, als het 1x1 is 2x2, 3x3 enzovoort, hoe hoger uw bestelling, hoe moeilijker het zal zijn om de bepalend. Er zijn echter belangrijke methoden om de oefening uit te voeren, zoals: Regel van Sarrusrus, gebruikt om determinanten van 3x3 matrices te berekenen.

Lees ook: Proces voor het oplossen van een m x n lineair systeem

Berekening van de determinant van een matrix van orde 2.

Matrixdeterminant van orde 1

Een array staat bekend als volgorde 1 als het precies heeft een rij en een kolom. Wanneer dit gebeurt, heeft de matrix een enkel element, de A₁₁. In dit geval valt de matrixdeterminant samen met zijn enige term.

A = (a₁₁)

det(A) = | De₁₁ | = de₁₁

Voorbeeld:

EEN = [2]

det(A) = |2| = 2

Om determinanten van matrices van orde 1 te berekenen, is het alleen nodig om hun enkel element te kennen.

Determinanten van orde 2 matrices

De 2x2 vierkante matrix, ook wel de orde 2 matrix genoemd, heeft vier elementen, in dit geval, om de determinant te berekenen, is het noodzakelijk om te weten wat de hoofddiagonaal en de secundaire diagonaal.

Om de determinant van een orde 2 matrix te berekenen, berekenen we deverschil voer het product van de termen van in hoofddiagonaal en de voorwaarden van secundaire diagonaal. Met behulp van het algebraïsche voorbeeld dat we hebben gebouwd, wordt det (A):

Voorbeeld:

Matrixdeterminant van orde 3

De orde drie matrix is arbeidsintensiever om de determinant te verkrijgen dan de vorige, in feite, hoe hoger de orde van een matrix, hoe moeilijker dit werk zal zijn. Daarin is nodig gebruik wat we kennen als Regel van Sarrusrus.

• Regel van Sarrusrus

De regel van Sarrus is een methode voor het berekenen van determinanten van matrices van orde 3. Het is noodzakelijk om een ​​paar stappen te volgen, de eerste zijn dupliceer de eerste twee kolommen aan het einde van de matrix, zoals weergegeven in het volgende voorbeeld.

Laten we nu gaan vermenigvuldig de termen van elk van de drie diagonalen die in dezelfde richting staan ​​als de hoofddiagonaal.

We zullen een soortgelijk proces uitvoeren met de secundaire diagonaal en de andere twee diagonalen die in dezelfde richting staan.

Let daar op de termen van de secundaire diagonaal gaan altijd vergezeld van het minteken., dat wil zeggen, we zullen altijd het teken van het resultaat van het vermenigvuldigen van de secundaire diagonale termen veranderen.

Voorbeeld:

Zie ook: Stelling van Binet - praktisch proces voor matrixvermenigvuldiging

Bepalende eigenschappen

• 1e eigendom

Als een van de lijnen van de matrix gelijk is aan 0, dan is de determinant gelijk aan 0.

Voorbeeld:

• 2e eigendom

Laat A en B twee matrices zijn, det (A·B) = det (A) · det (B).

Voorbeeld:

Als we de afzonderlijke determinanten berekenen, moeten we:

det (A) = 2 · (-6) – 5 · 3
det (A) = -12 – 15 = -27

det (B) = 4 · 1 – 2 · (-2)
det (B) = 4 + 4 = +8

Dus det (A) · det (B) = -27 · 8 = -216

Laten we nu det (A·B) berekenen

• 3e eigendom

Laat A een matrix zijn en A’ een nieuwe matrix geconstrueerd door de rijen van matrix A om te wisselen, dan det (A’) = -det (A), of dat wil zeggen, bij het omkeren van de positie van de lijnen van een matrix, zal de determinant dezelfde waarde hebben, maar met een teken uitgewisseld.

Voorbeeld:

• 4e eigendom

gelijke lijnen of proportioneel maak de matrixdeterminant gelijk aan 0.

Voorbeeld:

Merk op dat in matrix A de termen in rij twee tweemaal de termen in rij één zijn.

Ook toegang:Toepassing van matrices bij toelatingsexamens

opgeloste oefeningen

Vraag 1 - (Vunesp) Rekening houdend met matrices A en B, bepaal de waarde van det (A·B):

naar 1

b) 6

c) 10

d) 12

e) 14

Resolutie

Alternatieve E

We weten dat det (A·B) = det (A) · det (B):

det (A) = 1· 4 – 2 · 3 = 4 – 6 = -2
det (B) = -1 · 1 – 3 · 2 = -1 – 6 = -7

Dus we moeten:
det (A·B) = det (A) · det (B)
det (A·B) = -2 (-7) = 14

Vraag 2 - Gegeven matrix A, wat moet de waarde van x zijn opdat det(A) gelijk is aan 0?

a) 1/2

b) 1/3

c) 1/9

d) 3
e) 9

Resolutie

alternatief B

Als we de determinant van A berekenen, moeten we:

Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm