Wanneer het woord "algebraïsch" wordt gebruikt voor een numerieke uitdrukking, betekent dit dat die uitdrukking that heeft ten minste één onbekende, dat wil zeggen een letter of symbool dat wordt gebruikt om een getal weer te geven onbekend. Dus, een algebraïsche breuk, is op zijn beurt niets meer dan een breuk met ten minste één onbekende in de noemer (onderaan de breuk). Daarom, de vereenvoudiging van algebraïsche breuken volgt dezelfde basis als de vereenvoudiging van numerieke breuken.
Voorbeelden van algebraïsche breuken zijn:
1)
2x
4 jaar
2)
4 jaar2 – 9x2
2j + 3x
Algebraïsche breuken vereenvoudigen fraction
Het vereenvoudigen van een algebraïsche breuk volgt dezelfde basis als het vereenvoudigen van een numerieke breuk. Het is noodzakelijk om teller en noemer door hetzelfde getal te delen. Let op een voorbeeld van breukvereenvoudiging:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
De bovenstaande breuk werd vereenvoudigd met 2, vervolgens met 3 en vervolgens met 5. Ter ondersteuning van de procedure van
vereenvoudiging van algebraïsche breuken, we zullen de eerste breuk hierboven herschrijven in zijn ontbonden vorm:30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
Merk op dat de getallen 2, 3 en 5 worden herhaald in de teller en noemer en dat het precies dezelfde getallen waren waarmee de breuk werd vereenvoudigd. In de context van algebraïsche breuken, de procedure is vergelijkbaar, zoals het is nodig om de veeltermen aanwezig in de teller en noemer te ontbinden. Daarna moeten we beoordelen of het mogelijk is om sommige ervan te vereenvoudigen.
Voorbeelden
1) Vereenvoudig de volgende algebraïsche breuk:
4x2ja3
16xy6
Factor elk van de onbekenden en getallen die aanwezig zijn in de breuk:
4x2ja3
16xy6
2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y
Voer nu zoveel mogelijk delingen uit, zoals je eerder deed voor de numerieke breuk: De getallen die zowel in de teller als in de noemer voorkomen, verdwijnen, dat wil zeggen, ze zijn "besnoeiing". Het is ook mogelijk om te schrijven dat het resultaat van elk van deze vereenvoudigingen 1. Kijk maar:
2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y
X
2,2·j·j·j
X
4 jaar3
2) Vereenvoudig de volgende algebraïsche breuk:
4 jaar2 – 9x2
2j + 3x
Merk op dat de teller van deze algebraïsche breuk valt in een van de gevallen van opmerkelijke producten, dat wil zeggen de twee vierkante verschil. Om er rekening mee te houden, herschrijft u het in zijn factored vorm. Daarna is het mogelijk om de termen die zowel in de noemer als in de teller voorkomen, te "knippen", zoals in het vorige voorbeeld. Kijk maar:
4 jaar2 – 9x2
2j + 3x
= (2j + 3x) (2j - 3x)
2j + 3x
= 1·(2j – 3x)
= 2j + 3x
3) Vereenvoudig de volgende algebraïsche breuk:
De2(y2 – 16x2)
ay + 4ax
Zoals eerder gedaan, ontbind je de polynomen die aanwezig zijn in de teller en noemer. Voer daarna de mogelijke indelingen uit.
De2(y2 – 16x2)
ay + 4ax
= De·De·(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)
Merk op dat de teller is ontbonden met behulp van de twee vierkante verschil en de noemer werd ontbonden via de gemeenschappelijke factor. Daarnaast is de term a2 kan worden geschreven als het product a·a. Voer tot slot zoveel mogelijk divisies uit. Namelijk a door a en (y + 4x) door (y + 4x):
De·De·(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)
= 1·1·(y – 4x)
= y - 4x
Factorisatiegevallen zijn van het grootste belang om algebraïsche breuken te vereenvoudigen. Hieronder vindt u de belangrijkste gevallen en enkele pagina's waar ze meer in detail kunnen worden gevonden.
Factoring van algebraïsche uitdrukkingen
Een polynoom kan in zijn ontbonden vorm worden geschreven als het kan worden uitgedrukt in een van de vier onderstaande vormen. De gepresenteerde resultaten zijn hun ontbonden vorm of voorbeelden van hoe ze te ontbinden:
1 - Gemeenschappelijke factor
Als alle termen van de polynoom een onbekend of een gemeenschappelijk getal hebben, is het mogelijk om ze als bewijs te gebruiken. Bijvoorbeeld in de 4x polynoom2 + 2x kunnen we 2x als bewijs aanvoeren. Het resultaat zal zijn:
4x2 + 2x = 2x (2x + 1)
Merk op dat bij het uitvoeren van de vermenigvuldiging aangegeven op het tweede lid (rechterkant van de gelijkheid), het resultaat zal zijn: precies het eerste lid (linkerkant van de gelijkheid), vanwege de distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging.
2 – Groeperen
Met het oog op het vorige geval kan een polynoom met vier termen worden ontbonden door te groeperen, samen te voegen de algemene termen twee aan twee, en later opnieuw in rekening gebracht als de resultaten dit verlaten mogelijkheid. De 2x + bx + 2y + door polynoom kan bijvoorbeeld als volgt worden ontbonden:
2x + bx + 2y + door
x (2 + b) + y (2 + b)
Merk op dat (2 + b) in beide nieuwe termen wordt herhaald. We kunnen het dus als bewijs aanvoeren:
x (2 + b) + y (2 + b)
(2 + b)(x + y)
3 – Perfecte vierkante trinominaal
Wanneer een polynoom een perfecte vierkante trinoom is, wordt het geschreven als equivalent aan een van de volgende drie uitdrukkingen die links en in het rood zijn gerangschikt.
X2 + 2x + a2 = (x + een)(x + een)
X2 – 2x + a2 = (x - een)(x - een)
X2 - een2 = (x + een)(x - een)
De rechterkant is de ontbonden vorm van de polynoom, die kan worden gebruikt voor de algebraïsche breukvereenvoudiging.
4 – Som of verschil van twee kubussen
Telkens wanneer de polynoom de volgende vorm heeft of ernaar kan worden geschreven, is het een som van twee kubussen.
X3 + 3x2bij + 3x2 + de3 = (x + a)3
X3 – 3x2bij + 3x2 - een3 = (x - een)3
Nogmaals, de linkerkant, in rood, is de polynoom die kan worden ontbonden en herschreven zoals de uitdrukkingen aan de rechterkant.
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm
