DE injectie functie:, ook bekend als de injectieve functie, is een bijzonder geval van functie. Om een functie als injecterend te beschouwen, moeten we het volgende voorkomen: gegeven twee elementen, x1 en x2, behorend tot de domeinset, met x1 anders dan x2, afbeeldingen f(x1) en f(x2) zijn altijd verschillend, dat wil zeggen, f(x1) ≠ f(x2). Deze functie heeft specifieke kenmerken die de identificatie van zijn grafiek en ook de analyse van de vormingswet mogelijk maken.
Lees ook: Domein, contra-domein en afbeelding - basistermen voor het begrijpen van de inhoud van functies
Wat is een injectiefunctie?
Om enkele voorbeelden van injectorfunctie te bouwen, is het belangrijk om de definitie van dit type functie te begrijpen. Een functie f: A → B wordt geclassificeerd als injecterend als, en alleen als, elementen die verschillen van set A hebben verschillende afbeeldingen in set B, dat wil zeggen:
voorbeeld 1:
Hieronder is een voorbeeld van een injectorfunctie in: dve diagramNeeNee:
Voorbeeld 2:
Hieronder ziet u een voorbeeld van een niet-injecterende functie. Merk op dat in de in set A, er zijn twee verschillende elementen met dezelfde afbeelding in set B, wat in tegenspraak is met de definitie van de injectorfunctie.
Hoe een injectorfunctie berekenen?
Om te verifiëren of een functie injecterend is of niet, is het noodzakelijk om het gedrag van de vormingswet te analyseren en ook het domein en het tegendomein waarin de functie is gedefinieerd.
Voorbeeld:
gegeven de functie f: R → R, met de vormingswet f(x) = 2x, controleer of het injector is.
Door de vormingswet kunnen we zien dat het duurt a echt nummer van het domein en verandert het in zijn dubbel. Twee verschillende reële getallen, vermenigvuldigd met twee, leveren verschillende resultaten op. DE bezettingv, zoals we kunnen zien, is het een injectorfunctie, omdat voor elke twee waarden van x1 en x2,de waarde van f(X1) ≠ f(X2).
Voorbeeld 2:
gegeven de functie f: R → R, met vormingswet f(x) = x², controleer of het een injector is.
We kunnen zien dat deze functie voor dit domein niet injecterend is, omdat we hebben dat het beeld van een willekeurig getal gelijk is aan het beeld van het tegenovergestelde, bijvoorbeeld:
f( 2) = 2² = 4
f( --2 ) = (– 2) ² = 4
Let daar op f(2) = f ( – 2), wat in tegenspraak is met de definitie van een injectorfunctie.
Voorbeeld 3:
gegeven de functie f:R+ → R, met vormingswet f(x) = x², controleer of het een injector is.
Merk op dat het domein nu de positieve reële getallen en nul is. De functie verandert het reële getal in zijn kwadraat; in dit geval, wanneer het domein de verzameling positieve reële getallen is, is deze functie injectief, omdat het kwadraat van twee verschillende positieve getallen altijd verschillende resultaten zal opleveren. Het is dus erg belangrijk om te onthouden dat we, naast de functievormingswet, het domein en het tegendomein ervan moeten analyseren.
Lees ook: Wat is een inverse functie?
Injectie Functie Grafiek:
Om te bepalen of de grafiek een injectorfunctie is of niet, hoeft u alleen maar te controleren of die er zijn: twee verschillende x-waarden die dezelfde y-correspondent genereren, dat wil zeggen, controleer de geldigheid van de definitie van de injectorfunctie.
In het bereik waar we naar de grafiek gaan kijken, moet de functie uitsluitend toenemend of uitsluitend afnemend zijn. Afbeeldingen zoals de gelijkenis of de sinusfunctie zijn geen grafieken van injectorfuncties.
voorbeeld 1:
De stijgende lijn is de grafiek van een injectiefunctie. Merk op dat het altijd toeneemt en dat er geen y-waarde is die twee verschillende correspondenten heeft.
Voorbeeld 2:
De grafiek van a exponentiële functie het is ook de grafiek van een injectorfunctie.
Voorbeeld 3:
De grafiek van a kwadratische functie het is altijd een gelijkenis. Wanneer het domein de reële getallen betreft, is het mogelijk om te zien dat er verschillende x-waarden zijn met de hetzelfde corresponderend in y, zoals in de punten F en G, waardoor deze grafiek van een functie is die niet. is injector.
Samenvattend, om te weten of de grafiek al dan niet van een injectorfunctie is, volstaat het om te controleren of de definitie van een injectorfunctie geldig is of niet voor die functie.
Oefeningen opgelost
Vraag 1 - (Enem 2017 – PPL) In het eerste jaar van de middelbare school op een school is het gebruikelijk dat leerlingen op het junifeest squaredances dansen. Dit jaar zijn er 12 meisjes en 13 jongens in de klas, en voor de bende werden 12 verschillende paren gevormd, bestaande uit een meisje en een jongen. Neem aan dat meisjes de elementen zijn die set A vormen en jongens set B, zodat de gevormde paren een functie f vertegenwoordigen van A naar B.
Op basis van deze informatie is de classificatie van het type functie dat aanwezig is in deze relatie
A) f is injecteren, omdat voor elk meisje uit set A een andere jongen uit set B wordt geassocieerd.
B) f is surjectief, aangezien elk paar wordt gevormd door een meisje uit set A en een jongen uit set B, waardoor een ongepaarde jongen overblijft.
C) f injecteert, zoals twee meisjes die tot set A behoren, een paar vormen met dezelfde jongen die tot set B behoort, om alle leerlingen in de klas te betrekken.
D) f is bijectief, aangezien twee jongens die tot verzameling B behoren, een paar vormen met hetzelfde meisje dat tot verzameling A behoort.
E) f is surjectief, want het is genoeg voor een meisje uit set A om een paar te vormen met twee jongens uit set B, zodat geen enkele jongen zonder een paar zit.
Resolutie
Alternatief A.
Deze functie is injectief omdat er voor elk element van set A één correspondent is in set B. Merk op dat er geen mogelijkheid is dat twee meisjes met hetzelfde paar dansen, dus deze relatie is injecterend.
Vraag 2 - (IME - RJ) Beschouw de verzamelingen A = {(1,2), (1,3), (2,3)} en B = {1, 2, 3, 4, 5}, en laat de functie f: A → B zodat f(x, y) = x + y.
Het is mogelijk om te zeggen dat f een functie is:
A) injecteur.
B) surjectief.
C) bijector.
D) par.
E) vreemd.
Resolutie
Alternatief A.
Als we het domein analyseren, moeten we:
f (1.2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f(2,3) = 2 + 3 = 5
Merk op dat voor elke twee verschillende termen in het domein, ze gerelateerd zijn aan verschillende termen in het tegendomein, waardoor deze functie een injector is.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-injetora.htm
