Afstand tussen twee punten in de ruimte

DE afstand tussen twee punten is een van de belangrijkste concepten van Analytische geometrie. Het is door dit concept dat de meeste definities en eigenschappen van geometrische figuren worden geconstrueerd.

DE afstand tussen twee punten het is het kleinste rechte segment dat ze verbindt. Het vinden van een afstand komt dus neer op het meten van de lengte van een recht lijnsegment.

Gewoonlijk zijn in analytische meetkunde de maten van rechte segmenten zijn gemaakt via de de stelling van Pythagoras. Op deze manier wordt dezelfde stelling gebruikt om tot een formule te komen voor het berekenen van de afstand tussen twee punten.

Formule demonstratie

Merk op dat in de onderstaande figuur de punten A = (x_DEja_DE, z_DE) en B = (x_Bja_B, z_B). De eerste stap is het bouwen van de kleinste segment rechte lijn die hen verbindt. Om dit te doen, verbindt u ze gewoon met een rechte lijn.

Zodra dit is gebeurd, ziet u in de onderstaande afbeelding hetzelfde segment van bovenaf gezien:

Merk op dat het bovenaanzicht het eerste deel van het probleem reduceert tot

afstand tussen twee punten op het vliegtuig. We zullen de stelling van Pythagoras gebruiken om het kwadraat te vinden van de lengte van segment A'B', projectie van AB op het xy-vlak. Houd er echter rekening mee dat de te overwegen halsbanden de maten x. hebben_B – x_DE en jij_B - ja_DE.

Zodra dit is gebeurd, gebruiken we de de stelling van Pythagoras nogmaals om de lengte van AB te berekenen. Merk op dat AB de hypotenusa is van een rechthoekige driehoek waarbij A'B' been en basis is (dit segment is evenwijdig aan segment projectie AB en heeft dezelfde grootte) en z_B – z_DE is het andere been en de hoogte.

Dus, volgens de stelling van Pythagoras, hebben we:

Dit beëindigt de demonstratie, zodra de lengte van segment AB is gevonden.

Formule van de afstand tussen twee punten in de ruimte

Uit de bovenstaande berekeningen is de afstand tussen twee punten in de ruimte, aangeduid met d_AB, wordt als volgt gedefinieerd:

Om deze formule te gebruiken, vervangt u eenvoudig de numerieke waarden van de coördinaten van de punten A en B en voert u de berekeningen uit. Kijk naar het voorbeeld:

Bereken de afstand tussen de punten A = (0,2.2) en B = (-2, 0, 1):

Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos-no-espaco.htm