DE modulaire vergelijking is a vergelijking dat, in het eerste of tweede lid, heeft termen in module. De modulus, ook wel de absolute waarde genoemd, is gekoppeld aan de afstand die een getal moet hebben tot nul. Omdat we het over afstand hebben, is de modulus van een getal altijd positief. Het oplossen van problemen met modulaire vergelijkingen vereist het toepassen van de modulusdefinitie, we verdelen de vergelijking meestal in: twee mogelijke gevallen:
wanneer wat zich in de module bevindt positief is en
wanneer wat zich in de module bevindt negatief is.
Lees ook: Wat is het verschil tussen een functie en een vergelijking?
een echte nummer module
Om problemen met modulaire vergelijkingen op te kunnen lossen, is het noodzakelijk om de modulo-definitie te onthouden. De module is altijd hetzelfde als afstand die een getal moet hebben tot nul, en om de modulus van een getal weer te geven Nee, gebruiken we de rechte staaf als volgt: |Nee|. Om de |. te berekenenNee|, verdeelden we in twee gevallen:
Daarom kunnen we zeggen dat |Nee| is hetzelfde als de eigen Nee wanneer het een positief getal is of gelijk is aan nul, en in het tweede geval |Nee| is gelijk aan het tegenovergestelde van Nee als het negatief is. Onthoud dat het tegenovergestelde van een negatief getal altijd positief is, dus de |Nee| heeft altijd een resultaat gelijk aan een positief getal.
Voorbeelden:
a) |2| = 2
b) |-1| = -(-1) = 1
Zie ook: Hoe logaritmische vergelijking op te lossen?
Hoe een modulaire vergelijking op te lossen?
Om de oplossing van een modulaire vergelijking te vinden, is het noodzakelijk om elk van de mogelijkheden te analyseren, dat wil zeggen, om elk van de modules altijd in twee gevallen te verdelen. Naast het kennen van de modulusdefinitie, om modulaire vergelijkingen op te lossen, het is essentieel om te weten hoe op te lossen veeltermvergelijkingen.
voorbeeld 1:
|x – 3| = 5
Om de oplossing van deze vergelijking te vinden, is het belangrijk om te onthouden dat er twee mogelijke uitkomsten zijn die |. makenNee| = 5, dat zijn ze, Nee = -5, sinds |-5| = 5, en ook Nee = 5, omdat |5| = 5. Dus, met hetzelfde idee, moeten we:
I → x – 3 = 5 of
II → x – 3 = -5
Een van de vergelijkingen afzonderlijk oplossen:
Resolutie I:
x – 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Resolutie II:
x – 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Er zijn dus twee oplossingen: S = {-2, 8}.
Merk op dat als x = 8, de vergelijking waar is omdat:
|x – 3| = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Merk ook op dat als x = -2, de vergelijking ook waar is:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Voorbeeld 2:
|2x + 3| = 5
Om de oplossing te vinden, zoals in voorbeeld 1, is het noodzakelijk om deze in twee gevallen te verdelen, volgens de moduledefinitie.
ik → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Resolutie I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Resolutie II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Dan de set van oplossingen is: S = {1, -4}.
Voorbeeld 3:
|x + 3| = |2x – 1|
Als we de gelijkheid van twee modules hebben, moeten we deze in twee gevallen verdelen:
1e geval, eerste en tweede lid van hetzelfde teken.
2e geval, eerste en tweede lid van tegenovergestelde tekens.
Resolutie I:
We zullen de twee zijden groter dan nul maken, dat wil zeggen, we zullen gewoon de modulus verwijderen. We kunnen ook met beide minpunten doen, maar het resultaat zal hetzelfde zijn.
X + 3 ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
2x – 1 ≥ 0 → |2x – 1| = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x – 2x = -1 – 3
x = -4 (-1)
x = 4
Resolutie II:
Zijkanten van tegenovergestelde tekens. We zullen de ene kant kiezen om positief te zijn en de andere kant om negatief te zijn.
Kiezen:
|x + 3| ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
|2x – 1| < 0 → |2x –1| = – (2x – 1)
We moeten dus:
x + 3 = – (2x – 1)
x + 3 = – 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
De verzameling oplossingen is dus: S = {4, -2/3}.
Ook toegang: Wat zijn irrationele vergelijkingen?
Oefeningen opgelost
Vraag 1 - (UFJF) Het aantal negatieve oplossingen van de modulaire vergelijking |5x – 6| = x² is:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E 4
Resolutie
Alternatieve E
We willen de modulaire vergelijking oplossen:
|5x – 6| = x²
Laten we het dus opsplitsen in twee gevallen:
Resolutie I:
5x – 6 > 0 → |5x – 6| = 5x - 6
We moeten dus:
5x - 6 = x²
-x² + 5x – 6 = 0
Onthoud dat de deltawaarde ons vertelt hoeveel oplossingen de kwadratische vergelijking heeft:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Aangezien 1 positief is, zijn er in dit geval twee reële oplossingen.
Resolutie II:
|5x – 6| < 0 → |5x – 6| = – (5x – 6)
– (5x – 6) = x²
– 5x + 6 = x²
– x² – 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Aangezien Δ ook in dit geval positief is, zijn er twee reële oplossingen, dus het totaal aan reële oplossingen is 4.
Vraag 2 - (PUC SP) De oplossingsverzameling S van de vergelijking |2x – 1| = x - 1 is:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Resolutie
alternatief A
Resolutie I:
|2x – 1| = 2x - 1
We moeten dus:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Resolutie II:
|2x – 1| = – (2x – 1)
– (2x – 1) = x – 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm