Een van de manieren om de numerieke waarde van x te vinden, is een proces dat ook bekend staat als vind de wortels van een vergelijking of vind de oplossing van een vergelijking, uitblinken: Bhaskara-formule het is de proces van het voltooien van vierkanten. Dit laatste is de focus van de tekst van vandaag.
Het aantal oplossingen van een vergelijking wordt gegeven door de graad. Daarom hebben eerstegraads vergelijkingen maar één oplossing, derdegraads vergelijkingen hebben drie oplossingen, en kwadratische vergelijkingen hebben twee oplossingen, ook wel wortels genoemd..
Tweedegraadsvergelijkingen, in hun gereduceerde vorm, kunnen als volgt worden geschreven:
bijl2 + bx + c = 0
vierkante voltooiingsmethode:
In dat geval is de kwadratische vergelijking een perfecte vierkante trinominaal
Tweedegraadsvergelijkingen die het resultaat zijn van een opmerkelijk product staan bekend als perfecte vierkante trinominaal. Om de wortels ervan te vinden, zullen we de onderstaande methode gebruiken:
Voorbeeld: Bereken de wortels van de x-vergelijking2 + 6x + 9 = 0.
Merk op dat de coëfficiënt b 6 = 2·3 is. Om het in de vorm van een opmerkelijk product te schrijven, hoeft u alleen maar te controleren of c = 32, wat waar is, sinds 32 = 9 = c. Op deze manier kunnen we schrijven:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Merk op dat een opmerkelijk product het product is tussen twee gelijke veeltermen. In het geval van deze vergelijking hebben we:
(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = 0
Een product is pas gelijk aan nul als een van zijn factoren gelijk is aan nul. Daarom is het voor (x + 3)(x + 3) = 0 noodzakelijk dat (x + 3) = 0 of (x + 3) = 0. Vandaar de twee gelijke resultaten voor de x-vergelijking2 + 6x + 9 = 0, die zijn: x = – 3 of x = – 3.
Kortom: om de x-vergelijking op te lossen2 + 6x + 9 = 0, schrijf:
X2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3)(x + 3) = 0
x = – 3 of x = – 3
In dat geval is de kwadratische vergelijking geen perfecte vierkante trinominaal
Een vergelijking van de tweede waarin coëfficiënt b en coëfficiënt c niet voldoen aan de hierboven vastgestelde relaties, is geen perfecte vierkante trinominaal. In dit geval kan de hierboven beschreven oplossingsmethode worden gebruikt met de toevoeging van een paar stappen. Let op het volgende voorbeeld:
Voorbeeld: Bereken de wortels van de x-vergelijking2 + 6x – 7 = 0.
Merk op dat deze vergelijking geen perfecte vierkante trinominaal is. Hiervoor kunnen we de volgende bewerkingen gebruiken:
Merk op dat b = 2·3, dus in het eerste lid is de uitdrukking die moet verschijnen x2 + 6x + 9, want in deze uitdrukking b = 2·3 en c = 32.
Voeg voor deze "transformatie" 3. toe2 op de twee leden van deze vergelijking, "geef" de - 7 door aan het tweede lid, voer de mogelijke bewerkingen uit en bekijk de resultaten:
X2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
X2 + 6x + 32 = 32 + 7
X2 + 6x + 9 = 9 + 7
X2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
(x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 of x + 3 = – 4
Deze laatste stap moet worden opgesplitst in twee vergelijkingen, aangezien de wortel van 16 4 of – 4 kan zijn (dit komt alleen voor in vergelijkingen. Op de vraag wat de wortel van 16 is, is het antwoord slechts 4). Het is dus noodzakelijk om alle mogelijke resultaten te vinden. vervolg:
x + 3 = 4 of x + 3 = – 4
x = 4 – 3 of x = – 4 – 3
x = 1 of x = – 7
In dat geval is de coëfficiënt "a" niet gelijk aan 1
De voorgaande gevallen zijn bedoeld voor kwadratische vergelijkingen waarbij de coëfficiënt "a" gelijk is aan 1. Als de coëfficiënt "a" anders is dan 1, deel dan de hele vergelijking door de waarde van "a" en ga verder met de berekeningen op dezelfde manier als in het vorige geval.
Voorbeeld: Bereken 2x wortels2 + 16x – 18 = 0
Merk op dat a = 2. Dus deel de hele vergelijking door 2 en vereenvoudig de resultaten:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
X2 + 8x – 9 = 0
Zodra dit is gebeurd, herhaalt u de procedures van het vorige geval.
X2 + 8x – 9 = 0
X2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16
X2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
(x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 of x + 4 = –5
x = 5 – 4 of x = – 5 – 4
x = 1 of x = – 9
Opmerkelijke producten en tweedegraadsvergelijkingen: oorsprong van de vierkante voltooiingsmethode
De kwadratische vergelijkingen lijken veel op de opmerkelijke producten som kwadraat en kwadraat van het verschil.
De som in het kwadraat is bijvoorbeeld een som van twee monomials in het kwadraat. Kijk maar:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Het eerste lid van de bovenstaande gelijkheid staat bekend als opmerkelijk product en de tweede hoe? perfecte vierkante trinominaal. Dit laatste lijkt veel op een vergelijking van de tweede graad. Kijk maar:
Perfecte vierkante trinominaal: X2 + 2kx + k2
Tweedegraads vergelijking: bijl2 + bx + c = 0
Op die manier, als er een manier is om een kwadratische vergelijking als een opmerkelijk product te schrijven, misschien is er ook een manier om uw resultaten te vinden zonder de formule van te gebruiken Bhaskara.
Merk hiervoor op dat, in het opmerkelijke product hierboven, a = 1, b = 2·k en c = k2. Op deze manier is het mogelijk om vergelijkingen te schrijven die aan deze eisen voldoen in de vorm van een opmerkelijk product.
Kijk dus naar de coëfficiënten in de vergelijking. Als "a" anders is dan 1, deel dan de hele vergelijking door de waarde van "a". Neem anders de coëfficiënt "b" in acht. De numerieke waarde van de helft van deze coëfficiënt moet gelijk zijn aan de numerieke waarde van de vierkantswortel van de coëfficiënt "c". Wiskundig gezien de vergelijking ax2 + bx + c = 0, als a = 1 en daarnaast:
B = c
2
Je kunt deze vergelijking dus als volgt schrijven:
bijl2 + bx + c = (x + B) = 0
2
En zijn wortels zullen zijn - B en + b.
2 2
Vandaar alle theorie die wordt gebruikt om wortels van kwadratische vergelijkingen te berekenen door de methode van het invullen van vierkanten.
Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
