Hyperbool. definitie van hyperbool

Wat is hyperbool?
Definitie: Laat F1 en F2 twee punten op het vlak zijn en laat 2c de afstand ertussen zijn, hyperbool is de verzameling van de punten in het vlak waarvan het verschil (in module) van de afstanden tot F1 en F2 de constante 2a is (0 < 2a < 2c).
Elementen van een hyperbool:

F1 en F2 → zijn de brandpunten van hyperbool
→ is het centrum van hyperbool
2c → brandpuntsafstand
2e → echte of transversale asmeting
2b → denkbeeldige asmeting
c/a → excentriciteit
Er is een relatie tussen a, b en c → c² = de² + b²

Hyperbool gereduceerde vergelijking
1e geval: hyperbool met focus op de x-as.

Het is duidelijk dat in dit geval de brandpunten de coördinaten F1 (-c, 0) en F2(c, 0) zullen hebben.
Dus de gereduceerde vergelijking van de ellips met middelpunt aan de oorsprong van het Cartesiaanse vlak en focus op de x-as zal zijn:

2e geval: hyperbool met brandpunten op de y-as.

In dit geval hebben de brandpunten de coördinaten F1 (0, -c) en F2 (0, c).
Dus de gereduceerde vergelijking van de ellips met middelpunt aan de oorsprong van het Cartesiaanse vlak en focus op de y-as zal zijn:

Voorbeeld 1. Zoek de gereduceerde vergelijking van de hyperbool met reële as 6, brandpunten F1(-5, 0) en F2(5, 0).
Oplossing: we moeten
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) en F2(5, 0) → c = 5
Uit de opmerkelijke relatie krijgen we:
ç² = de² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² =25 - 9 → b² = 16 → b = 4
De gereduceerde vergelijking wordt dus gegeven door:

Voorbeeld 2. Zoek de gereduceerde hyperboolvergelijking met twee brandpunten met F2-coördinaten (0, 10) en een denkbeeldige as van 12.
Oplossing: we moeten
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Met behulp van de opmerkelijke relatie krijgen we:
10² = de² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → een = 8.
De gereduceerde hyperboolvergelijking wordt dus gegeven door:

Voorbeeld 3. Bepaal de brandpuntsafstand van de hyperbool met vergelijking
Oplossing: aangezien de hyperboolvergelijking van het type is:  We moeten
De² = 16 en b² =9
Uit de opmerkelijke relatie die we verkrijgen:
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
De brandpuntsafstand wordt gegeven door 2c. Dus,
2c = 2*5 =10
De brandpuntsafstand is dus 10.

Door Marcelo Rigonatto
Specialist in statistiek en wiskundige modellering
Brazilië School Team

Analytische geometrie - Wiskunde - Brazilië School