Oefen je kennis van lineaire systemen, een belangrijk wiskundig onderwerp waarbij simultane vergelijkingen worden bestudeerd. Met veel praktische toepassingen worden ze gebruikt om problemen met verschillende variabelen op te lossen.
Alle vragen worden stap voor stap opgelost, waarbij we verschillende methodes zullen gebruiken, zoals: substitutie, optelling, eliminatie, schaling en de regel van Cramer.
Vraag 1 (substitutiemethode)
Bepaal het geordende paar dat het volgende stelsel lineaire vergelijkingen oplost.
Antwoord:
X isoleren in de eerste vergelijking:
Vervanging van x in de tweede vergelijking:
Vervanging van de waarde van y in de eerste vergelijking.
Het geordende paar dat het systeem oplost is dus:
Vraag 2 (schaalmethode)
De oplossing van het volgende stelsel lineaire vergelijkingen is:
Antwoord: x = 5, y = 1, z = 2
Het systeem is al in echelonvorm. De derde vergelijking heeft twee nulcoëfficiënten (y = 0 en x = 0), de tweede vergelijking heeft een nulcoëfficiënt (x = 0) en de derde vergelijking heeft geen nulcoëfficiënten.
In een echelonsysteem lossen we "van beneden naar boven" op, dat wil zeggen, we beginnen met de derde vergelijking.
Als we naar de bovenste vergelijking gaan, vervangen we z = 2.
Ten slotte vervangen we z = 2 en y = 1 in de eerste vergelijking om x te verkrijgen.
Oplossing
x = 5, y = 1, z = 2
Vraag 3 (Cramers regel of methode)
Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op:
Antwoord: x = 4, y = 0.
Met behulp van de regel van Cramer.
Stap 1: bepaal de determinanten D, Dx en Dy.
De matrix van coëfficiënten is:
De bepalende factor:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Voor de berekening van Dx vervangen we de kolom met termen van x door de kolom met onafhankelijke termen.
D x = 4. 1 - 8. (-1)
D x = 4 + 8 = 12
Voor de berekening van Dy vervangen we de termen van y door de onafhankelijke termen.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0
stap 2: bepaal x en y.
Om x te bepalen, doen we:
Om y te bepalen, doen we:
vraag 4
Een verkoper van t-shirts en petten op een sportevenement verkocht 3 t-shirts en 2 petten, wat in totaal R$ 220,00 opleverde. De volgende dag verkocht hij 2 shirts en 3 petten, waarmee hij R $ 190,00 opbracht. Wat zou de prijs zijn van een T-shirt en de prijs van een hoed?
a) T-shirt: BRL 60,00 | Kap: BRL 40,00
b) T-shirt: BRL 40,00 | Kap: BRL 60,00
c) T-shirt: BRL 56,00 | Kap: BRL 26,00
d) T-shirt: BRL 50,00 | Kap: BRL 70,00
e) T-shirt: BRL 80,00 | Dop: BRL 30,00
Laten we de prijs van T-shirts c en de prijs van hoeden b noemen.
Voor de eerste dag hebben we:
3c + 2b = 220
Voor de tweede dag hebben we:
2c + 3b = 190
We vormen twee vergelijkingen met elk twee onbekenden, c en b. We hebben dus een stelsel van 2x2 lineaire vergelijkingen.
Oplossing
De regel van Cramer gebruiken:
1e stap: determinant van de matrix van coëfficiënten.
2e stap: determinant Dc.
We vervangen de kolom van c door de matrix van onafhankelijke termen.
3e stap: determinant Db.
4e stap: bepaal de waarde van c en b.
Antwoord:
De prijs van het T-shirt is R $ 56,00 en de pet R $ 26,00.
vraag 5
Een bioscoop rekent R$ 10,00 per kaartje voor volwassenen en R$ 6,00 per kaartje voor kinderen. Op één dag werden 80 kaartjes verkocht en de totale collectie bedroeg R$ 700,00. Hoeveel kaartjes zijn er van elk type verkocht?
a) Volwassenen: 75 | Kinderen: 25
b) Volwassenen: 40 | Kinderen: 40
c) Volwassenen: 65 | Kinderen: 25
d) Volwassenen: 30 | Kinderen: 50
e) Volwassenen: 25 | Kinderen: 75
We zullen het noemen als De de ticketprijs voor volwassenen en w voor kinderen.
In verhouding tot het totaal aantal tickets dat we hebben:
a + c = 80
Met betrekking tot de verkregen waarde hebben we:
10a + 6c = 700
We vormen een systeem van lineaire vergelijkingen met twee vergelijkingen en twee onbekenden, dat wil zeggen een 2x2 systeem.
Oplossing
We zullen de substitutiemethode gebruiken.
Isoleren van a in de eerste vergelijking:
een = 80 - c
Vervanging van a in de tweede vergelijking:
10.(80 - c) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
k = 25
Vervanging van c in de tweede vergelijking:
6a + 10c = 700
6a+10. 25 = 700
6j + 250 = 700
6a = 700 - 250
6a = 450
een = 450/6
a = 75
vraag 6
Een winkel verkoopt T-shirts, korte broeken en schoenen. Op de eerste dag werden 2 T-shirts, 3 korte broeken en 4 paar schoenen verkocht, in totaal R$ 350,00. Op de tweede dag werden 3 T-shirts, 2 korte broeken en 1 paar schoenen verkocht, in totaal R$ 200,00. Op de derde dag werden 1 T-shirt, 4 korte broeken en 2 paar schoenen verkocht, in totaal R$ 320,00. Hoeveel zouden een T-shirt, korte broek en een paar schoenen kosten?
a) T-shirt: BRL 56,00 | Bermuda: R$ 24,00 | Schoenen: BRL 74,00
b) T-shirt: BRL 40,00 | Bermuda: R$ 50,00 | Schoenen: BRL 70,00
c) T-shirt: BRL 16,00 | Bermuda: R$ 58,00 | Schoenen: BRL 36,00
d) T-shirt: BRL 80,00 | Bermuda: R$ 50,00 | Schoenen: BRL 40,00
e) T-shirt: BRL 12,00 | Bermuda: R$ 26,00 | Schoenen: BRL 56,00
- c is de prijs van overhemden;
- b is de prijs van de korte broek;
- s is de prijs van de schoenen.
Voor de eerste dag:
2c + 3b + 4s = 350
Voor de tweede dag:
3c + 2b + s = 200
Voor de derde dag:
c + 4b + 2s = 320
We hebben drie vergelijkingen en drie onbekenden, die een 3x3 systeem van lineaire vergelijkingen vormen.
Met behulp van de regel van Cramer.
De matrix van coëfficiënten is
De bepalende factor is D = 25.
De kolommatrix van antwoorden is:
Om Dc te berekenen, vervangen we de kolommatrix van antwoorden door de eerste kolom in de matrix van coëfficiënten.
v = 400
Voor de berekening van Db:
DB = 1450
Voor de berekening van Ds:
DS = 900
Om c, b en s te bepalen delen we de determinanten Dc, Db en Ds door de hoofddeterminant D.
vraag 7
Een restaurant biedt drie gerechtopties: vlees, salade en pizza. Op de eerste dag werden 40 vleesgerechten, 30 saladeschotels en 10 pizza's verkocht, in totaal R$ 700,00 aan verkopen. Op de tweede dag werden 20 vleesgerechten, 40 saladeschotels en 30 pizza's verkocht, in totaal R$ 600,00 aan verkopen. Op de derde dag werden 10 vleesgerechten, 20 saladeschotels en 40 pizza's verkocht, in totaal R$ 500,00 aan verkopen. Hoeveel zou elk gerecht kosten?
a) vlees: BRL 200,00 | salade: R$ 15,00 | pizza: BRL 10,00
b) vlees: R$ 150,00 | salade: R$ 10,00 | pizza: BRL 60,00
c) vlees: BRL 100,00 | salade: R$ 15,00 | pizza: BRL 70,00
d) vlees: BRL 200,00 | salade: R$ 10,00 | pizza: BRL 15,00
e) vlees: BRL 140,00 | salade: R$ 20,00 | pizza: BRL 80,00
Gebruik makend van:
- c voor vlees;
- s voor salade;
- p voor pizza.
Op de eerste dag:
Op de tweede dag:
Op de derde dag:
De prijs van elk gerecht kan worden verkregen door het systeem op te lossen:
Oplossing
De eliminatiemethode gebruiken.
Vermenigvuldig 20c + 40s + 30p = 6000 met 2.
Trek de tweede matrixvergelijking af die uit de eerste is verkregen.
In de bovenstaande matrix vervangen we deze vergelijking door de tweede.
We vermenigvuldigen de derde vergelijking hierboven met 4.
Als we de derde van de eerste vergelijking aftrekken, krijgen we:
Vervanging van de verkregen vergelijking door de derde.
Als we vergelijkingen twee en drie aftrekken, krijgen we:
Uit de derde vergelijking krijgen we p = 80.
Vervanging van p in de tweede vergelijking:
Jaren 50 + 50,80 = 5000
Jaren 50 + 4000 = 5000
jaren 50 = 1000
s = 1000/50 = 20
Vervanging van de waarden van s en p in de eerste vergelijking:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000 - 600 - 800
40 cent = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Oplossing
p=80, s=20 en c=140
vraag 8
(UEMG) In het plan, het systeem vertegenwoordigt een paar lijnen
a) samenvallen.
b) onderscheiden en parallel.
c) gelijktijdige lijnen op het punt ( 1, -4/3 )
d) gelijktijdige lijnen op het punt (5/3, -16/9)
Vermenigvuldig de eerste vergelijking met twee en voeg de twee vergelijkingen toe:
Vervanging van x in vergelijking A:
vraag 9
(PUC-MINAS) Een bepaald laboratorium stuurde 108 bestellingen naar apotheken A, B en C. Het is bekend dat het aantal bestellingen naar apotheek B het dubbele was van het totale aantal bestellingen naar de twee andere apotheken. Daarnaast zijn drie bestellingen waarvan meer dan de helft van de hoeveelheid die naar apotheek A is verzonden, naar apotheek C verzonden.
Op basis van deze informatie is het CORRECT om te stellen dat het totale aantal bestellingen naar apotheek B en C was
a) 36
b) 54
c) 86
d) 94
Volgens de verklaring hebben we:
EEN + B + C = 108.
Ook dat de hoeveelheid B twee keer zo groot was als die van A + C.
B = 2(A + C)
Er zijn drie bestellingen naar apotheek C verzonden, meer dan de helft van de hoeveelheid die naar apotheek A is verzonden.
C = EEN/2 + 3
We hebben vergelijkingen en drie onbekenden.
De vervangingsmethode gebruiken.
Stap 1: vervang de derde door de tweede.
Stap 2: Vervang het verkregen resultaat en de derde vergelijking door de eerste.
Stap 3: Vervang de waarde van A om de waarden van B en C te bepalen.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
Voor C:
Stap 4: tel de waarden van B en C op.
72 + 14 = 86
vraag 10
(UFRGS 2019) Zodat het systeem van lineaire vergelijkingen mogelijk en bepaald, het is noodzakelijk en voldoende dat
a) een ∈ R.
b) een = 2.
c) een = 1.
d) een ≠ 1.
c) een ≠ 2.
Een van de manieren om een systeem als mogelijk te classificeren en te bepalen is via de methode van Cramer.
Voorwaarde hiervoor is dat de determinanten verschillend zijn van nul.
De determinant D van de hoofdmatrix gelijk maken aan nul:
Voor meer informatie over lineaire systemen:
- Lineaire systemen: wat ze zijn, typen en hoe op te lossen
- Stelsels van vergelijkingen
- Schalen van lineaire systemen
- Regel van Cramer
Voor meer oefeningen:
- Stelsels van vergelijkingen van de 1e graad
ASTH, Rafaël. Oefeningen op opgeloste lineaire stelsels.Alle materie, [n.d.]. Beschikbaar in: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Toegang bij:
Zie ook
- Lineaire systemen
- Schalen van lineaire systemen
- Stelsels van vergelijkingen
- 11 oefeningen op matrixvermenigvuldiging
- Tweedegraadsvergelijking
- Ongelijkheid oefeningen
- 27 Basis Wiskunde oefeningen
- Regel van Cramer
