A identiteitsmatrix is een speciaal soort hoofdkwartier. We kennen als identiteitsmatrix IN de vierkante matrix van orde n waarvan alle termen op de diagonaal gelijk zijn aan 1 en termen die niet tot de hoofddiagonaal behoren gelijk zijn aan 0. De identiteitsmatrix wordt beschouwd als het neutrale element van vermenigvuldiging, dat wil zeggen als we een matrix vermenigvuldigen M door de identiteitsmatrix vinden we als resultaat de matrix zelf M.
Zie ook: Wat is de determinant van een matrix?
Onderwerpen van dit artikel
- 1 - Samenvatting over de identiteitsmatrix
-
2 - Wat is de identiteitsmatrix?
- ? Typen identiteitsmatrix
- 3 - Eigenschappen van de identiteitsmatrix
- 4 - Vermenigvuldiging van de identiteitsmatrix
- 5 - Opgeloste oefeningen over identiteitsmatrix
Samenvatting over identiteitsmatrix
De identiteitsmatrix is de vierkante matrix met elementen op de hoofddiagonaal gelijk aan 1 en met de overige elementen gelijk aan 0.
Er zijn identiteitsmatrices van verschillende ordes. Wij vertegenwoordigen de identiteitsmatrix van orde N door ik N.
De identiteitsmatrix is het neutrale element van matrixvermenigvuldiging, dat wil zeggen \( A\cdot I_n=A.\)
Het product van een vierkante matrix en zijn inverse matrix is de identiteitsmatrix.
Wat is identiteitsmatrix?
De identiteitsmatrix is een speciaal type vierkante matrix. Een vierkante matrix staat bekend als een identiteitsmatrix als alle elementen op de hoofddiagonaal gelijk zijn aan 1 en alle andere elementen gelijk zijn aan 0. Dan, in elke identiteitsmatrix:
➝ Typen identiteitsmatrix
Er zijn identiteitsmatrices van verschillende ordes. de bestelling N wordt vertegenwoordigd door IN. Laten we hieronder enkele matrices van andere ordes bekijken.
Bestel 1 identiteitsmatrix:
\(I_1=\links[1\rechts]\)
Bestel 2 identiteitsmatrix:
\(I_2=\links[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Bestel 3 identiteitsmatrix:
\(I_3=\links[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Bestel 4 identiteitsmatrix:
\(I_4=\links[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Bestel 5 identiteitsmatrix:
\(I_5=\links[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Achtereenvolgens kunnen we identiteitsmatrices van verschillende ordes schrijven.
Niet stoppen nu... Er is meer na de publiciteit ;)
Identiteitsmatrix eigenschappen
De identiteitsmatrix heeft een belangrijke eigenschap, aangezien het het neutrale element is van de vermenigvuldiging tussen de matrices. Dit betekent dat elke matrix vermenigvuldigd met de identiteitsmatrix is gelijk aan zichzelf. Dus gegeven de matrix M van orde N,we hebben:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Een andere belangrijke eigenschap van de identiteitsmatrix is dat de product van een vierkante matrix en zijn omgekeerde matrix is de identiteitsmatrix. Gegeven een vierkante matrix M van orde N, wordt het product van M door zijn inverse gegeven door:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Lees ook: Wat is een driehoeksmatrix?
Vermenigvuldiging van de identiteitsmatrix
Wanneer we een matrix M vermenigvuldigen met de identiteitsmatrix van orde N, krijgen we de matrix M als resultaat. Laten we hieronder een voorbeeld bekijken van het product van de matrix M van orde 2 door de identiteitsmatrix van orde 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) Het is \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Stel dat:
\(A\cdot I_n=B\)
We hebben:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Dus het product van A door \(In\) het zal zijn:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Merk op dat de termen van matrix B identiek zijn aan de termen van matrix A, dat wil zeggen:
\(A\cdot I_n=\links[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Voorbeeld:
Wezen M De matrijs \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), bereken het product tussen de matrix M en de matrijs \(I_3\).
Oplossing:
Als we de vermenigvuldiging uitvoeren, hebben we:
\(M\cdot I_3=\links[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\links[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1\ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\links(-2\rechts)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\links(-2\rechts)\cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\links(-2\rechts)\cdot0+1\cdot 1\\\einde{matrix}\rechts]\)
\(M\cdot I_3=\links[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Opgeloste oefeningen over identiteitsmatrix
vraag 1
Er is een vierkante matrix van orde 3 die wordt gedefinieerd door \(a_{ij}=1 \) wanneer \(i=j\) Het is \(a_{ij}=0\) Het is wanneer \(i\ neq j\). Deze matrix is als volgt:
A) \( \links[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \links[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \links[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \links[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
EN) \( \links[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Oplossing:
Alternatief D
Als we de matrix analyseren, hebben we:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
De matrix is dus gelijk aan:
\(\links[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
vraag 2
(UEMG) Als de inverse matrix van \(A=\links[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \links[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), de waarde van x is:
EEN) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Oplossing:
Alternatief A
Door de matrices te vermenigvuldigen, realiseren we ons dat hun product gelijk is aan de identiteitsmatrix. Als we het product van de tweede rij van de matrix berekenen door de eerste kolom van zijn inverse, hebben we:
\(3\cdot5+x\cdot\links(-3\rechts)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Door Raúl Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Wilt u naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijk:
OLIVEIRA, Raúl Rodrigues de. "Identiteitsmatrix"; Braziliaanse school. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm. Betreden op 20 juli 2023.
Het begrijpen van de toepassing van matrixen is een belangrijk gegeven om niet achter te blijven bij het toelatingsexamen. De toepassing van de matrices in de toelatingsexamens gebeurt door verschillende concepten van matrices in één vraag te relateren.
Leer hoe u de determinanten van vierkante matrices van orde 1, 2 en 3 kunt berekenen. Leer hoe je de regel van Sarrus gebruikt. Ken de eigenschappen van determinanten.
Begrijp hier de definities en formaliseringen van de matrixstructuur. Zie ook hoe de elementen en de verschillende soorten matrices te bedienen.
Klik hier en leer wat een symmetrische matrix is. Ken de eigenschappen ervan en ontdek hoe het verschilt van een antisymmetrische matrix.
Begrijp wat een getransponeerde matrix is. Ken de eigenschappen van een getransponeerde matrix. Leer hoe u de getransponeerde matrix van een bepaalde matrix kunt vinden.
Leer de vermenigvuldiging tussen twee matrices berekenen, en weet ook wat de identiteitsmatrix is en wat de inverse matrix is.
Ken de regel van Cramer. Leer de regel van Cramer gebruiken om oplossingen te vinden voor een lineair systeem. Zie uitgewerkte voorbeelden van de regel van Cramer.
Kent u de Sarrus-regel? Leer hoe je deze methode kunt gebruiken om de determinant van 3x3 matrices te vinden.
In elkaar krimpen
Het uit het Engels aangepaste jargon wordt gebruikt om iemand aan te duiden die wordt gezien als smakeloos, beschamend, achterhaald en uit de mode.
Neurodiversiteit
Een term die is bedacht door Judy Singer en wordt gebruikt om de grote verscheidenheid aan manieren waarop de menselijke geest zich gedraagt te beschrijven.
PL van nepnieuws
Ook bekend als PL2660, is het een wetsvoorstel dat mechanismen vaststelt voor de regulering van sociale netwerken in Brazilië.
