symmetrische matrix is hoofdkwartier waarin elk element \(a_{ij}\) is gelijk aan het element \(a_{ji}\) voor alle waarden van i en j. Bijgevolg is elke symmetrische matrix gelijk aan zijn transponering. Het is ook vermeldenswaard dat elke symmetrische matrix vierkant is en dat de hoofddiagonaal als symmetrieas fungeert.
Lees ook:Matrix optellen en aftrekken — hoe te berekenen?
Onderwerpen van dit artikel
- 1 - Samenvatting over symmetrische matrix
- 2 - Wat is een symmetrische matrix?
- 3 - Wat zijn de eigenschappen van de symmetrische matrix?
- 4 - Wat zijn de verschillen tussen de symmetrische matrix en de antisymmetrische matrix?
- 5 - Opgeloste oefeningen op symmetrische matrix
Samenvatting over symmetrische matrix
In een symmetrische matrix, \(a_{ij}=a_{ji}\) voor alle i en j.
Elke symmetrische matrix is vierkant.
Elke symmetrische matrix is gelijk aan zijn transponering.
De elementen van een symmetrische matrix zijn symmetrisch rond de hoofddiagonaal.
Terwijl in de symmetrische matrix \(a_{ij}=a_{ji}\) voor alle i en j; in een antisymmetrische matrix, \(a_{ij}=-a_{ji}\) voor alle i en j.
Wat is een symmetrische matrix?
Een symmetrische matrix is een vierkante matrix waar \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) voor elke i en elke j. Dit betekent dat \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), enzovoort, voor alle mogelijke waarden van i en j. Onthoud dat de mogelijke waarden van i overeenkomen met de rijen van de matrix en de mogelijke waarden van j overeenkomen met de kolommen van de matrix.
Voorbeelden van symmetrische matrices
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Voorbeelden van niet-symmetrische matrices (overweeg \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Belangrijk: Zeggen dat een matrix niet symmetrisch is, betekent dat aantonen \(a_{ij}≠a_{ji}\) voor ten minste enkele i en j (wat we kunnen zien door de voorgaande voorbeelden te vergelijken). Dit is anders dan het concept van de antisymmetrische matrix, dat we later zullen zien.
Niet stoppen nu... Er is meer na de publiciteit ;)
Wat zijn de eigenschappen van de symmetrische matrix?
Elke symmetrische matrix is vierkant
Merk op dat de definitie van een symmetrische matrix gebaseerd is op vierkante matrices. Elke symmetrische matrix heeft dus hetzelfde aantal rijen als het aantal kolommen.
Elke symmetrische matrix is gelijk aan zijn transponering
Als A een matrix is, is het getransponeerd (\(A^T\)) is gedefinieerd als de matrix waarvan de rijen de kolommen van A zijn en waarvan de kolommen de rijen van A zijn. Dus als A een symmetrische matrix is, hebben we \(A=A^T\).
In de symmetrische matrix worden de elementen "gereflecteerd" ten opzichte van de hoofddiagonaal
Als \(a_{ij}=a_{ji}\) in een symmetrische matrix zijn de elementen boven de hoofddiagonaal "reflecties" van de elementen eronder van de diagonaal (of vice versa) ten opzichte van de diagonaal, zodat de hoofddiagonaal fungeert als een as van symmetrie.
Wat zijn de verschillen tussen de symmetrische matrix en de antisymmetrische matrix?
Als A een symmetrische matrix is, dan \(a_{ij}=a_{ji}\) voor alle i en alle j, zoals we hebben bestudeerd. In het geval van de antisymmetrische matrix is de situatie anders. Als B een antisymmetrische matrix is, dan \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) voor elke i en elke j.
Merk op dat dit resulteert in \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), dat is, de belangrijkste diagonale elementen zijn nul. Een gevolg hiervan is dat de transponering van een antisymmetrische matrix gelijk is aan het tegenovergestelde, dat wil zeggen, als B een antisymmetrische matrix is, dan \(B^T=-B\).
Voorbeelden van antisymmetrische matrices
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Zie ook: Identiteitsmatrix — de matrix waarin de belangrijkste diagonale elementen gelijk zijn aan 1 en de overige elementen gelijk zijn aan 0
Opgeloste oefeningen op symmetrische matrix
vraag 1
(Unicentro)
als de matrix \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) is symmetrisch, dus de waarde van xy is:
EEN) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Oplossing:
Alternatief A
Als de gegeven matrix symmetrisch is, dan zijn de elementen in symmetrische posities gelijk (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Daarom moeten we:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
De eerste vervangen vergelijking in het tweede concluderen we dat \(y=3\), spoedig:
\(x=2\) Het is \(xy=6\)
vraag 2
(UFSM) Wetende dat de matrix \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) is gelijk aan zijn omzetting, de waarde van \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Oplossing:
Alternatief C
Aangezien de gegeven matrix gelijk is aan de getransponeerde matrix, is het een symmetrische matrix. Elementen in symmetrische posities zijn dus gelijk (\(a_{ij}=a_{ji}\)), d.w.z.:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Door de eerste vergelijking, x=-6 of x=6. Door de derde vergelijking krijgen we het juiste antwoord: x= -6. Door de tweede vergelijking, j=11.
Spoedig:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Door Maria Luiza Alves Rizzo
Wiskunde leraar
Wilt u naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijk:
RIZZO, Maria Luiza Alves. "Symetrische matrix"; Braziliaanse school. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Betreden op 18 juli 2023.
Begrijp hier de definities en formaliseringen van de matrixstructuur. Zie ook hoe de elementen en de verschillende soorten matrices te bedienen.
Klik hier en leer meer over identiteitsmatrix, het neutrale element van matrixvermenigvuldiging. Leer ook hoe u dit speciale type matrix kunt bouwen.
Begrijp wat een getransponeerde matrix is. Ken de eigenschappen van een getransponeerde matrix. Leer hoe u de getransponeerde matrix van een bepaalde matrix kunt vinden.
Leer wat symmetrie is en weet wat de typen zijn. Zie ook voorbeelden en het belang van dit fenomeen.
Matrix, type matrices, volgorde van matrices, rijmatrix, kolommatrix, nulmatrix, matrix vierkant, diagonale matrix, identiteitsmatrix, tegenovergestelde matrix, matrix, gelijke matrix, gelijkheid van matrices.
In elkaar krimpen
Het uit het Engels aangepaste jargon wordt gebruikt om iemand aan te duiden die wordt gezien als smakeloos, beschamend, achterhaald en uit de mode.
Neurodiversiteit
Een term die is bedacht door Judy Singer en wordt gebruikt om de grote verscheidenheid aan manieren waarop de menselijke geest zich gedraagt te beschrijven.
PL van nepnieuws
Ook bekend als PL2660, is het een wetsvoorstel dat mechanismen vaststelt voor de regulering van sociale netwerken in Brazilië.
